Teme la matematică

[GruiaVelicu]

Salutare, in primul rand precizez ca postez aceste probleme fiindca mie mi-au dat bataie de cap. De dificultatea lor nu stiu ce sa zic, asta in functie de capacitatile fiecaruia. Si fiindca au trezit ceva interes atunci sa mai postez una. Se da un cerc de centru o si un punct exterior a. Din punctul a se duc doua tangente la cerc. Sa se demonstreze ca a o este mediatoare pentru segmentul format de punctele unde tangentele ating cercul.

[Ghita Potra]

Salut
Fiindca acuma am putin timp postez si eu un raspuns mai detaliat la problema asta.
Prima data am crezut ca pot porni la rezolvarea ei construind figura prin asezarea cercurilor unul peste altul astfel incat o1-o2 sa fie baza trapezului format dar, acesta nu e un punct viabil de pornire deoarece e vorba de o tangenta exterioara a cercurilor adica o linie care poate atinge cercul intr-un singur punct.
Eu va admir foarte mult pentru faptul ca reusiti sa rezolvati astfel de probleme fara desen dar mie imi e aproape imposibil.
Am pornit de la tangenta ca linie de baza (R1 R2) pe care am dus 2 perpendiculare (O1 R1 = 10 cm si O2 R2 = 5 cm). Stim ca O1 O2 = 15 cm. Obtinem trapezul culcat in acest caz si prin paralela O2 X pe O1 R1 delimitam un triunghi dreptunghic O1 O2 X in care cunoastem ipotenuza (O1 O2 = 15 cm si o cateta (O1 X = O1 R1 -O2 R2 = 5 cm (Asa cum zicea Manu, baza mare minus baza mica)
De aici, asa cum s-a spus ramane teoria lui pitagora
O2 X =Radical din 15 patrat - 5 patrat = radical din 225 - 25 = radical din 200.
Stiu ca ati dat deja raspunsul corect dar mi-a placut foarte mult problema
Nu sunt de acord cu Manu ca geometria e o chestie simpla care se reduce in esenta la teorema lui Pitagora. Pana la urma partea cea mai frumoasa din geometrie e sa ajungi pana la teorema lui Pitagora (daca asta e solutia in cazul vreunei probleme) Cand ajungi la constructii mai complicate trebuie sa iti folosesti mai mult imaginatia pe cand la algebra totul se reduce la aplicarea stricta si rece a unor algoritmi foarte bine stabiliti in marea majoritate a cazurilor.

Frumoasă explicaţie, dar eu rămân la părerea mea. Distanţa dintre cele două centre este suma razelor. Poate fi mai mică o tangentă exterioară decât distanţa dintre centre?
Dacă da îmi cer scuze pentru insistenţă.
Ca exerciţiu trasaţi cele două tangente şi continuaţile până obţineţi triunghiul respectiv şi apoi cred că îmi veţi da dreptate.

[GruiaVelicu]

Ghita gresesti. Imagineaza-ti ca e o bicicleta cu doua roti inegale. Tangenta e strada, razele sunt distantele de la centrul rotilor pana la strada. Distanta dintre cele doua centre ale rotilor vine un pic inclinata. Oricum raspunsul din manual e 10 radical din 2.

[Campus]

O sa incerc o rezolvare dar nu stiu cat de viabila este pentru clasa a saptea
Fie P si Q punctele in care tangentele pornite din punctul A ating cercul de centru O.
Se formeaza patrulaterul AQOP in care stim ca:
OP congruent cu OQ (razele cercului)
Unghiul OPA congruent cu unghiul OQA si egal cu 90 de grade (raza este perpendiculara pe tangenta)

Deoarece OP congruent cu OQ rezulta ca triunghiul OPQ este isoscel si de aici rezulta ca masura unghiului OPQ este eegala cu masura unghiului OQP
Ca urmare masura unghiului AQP va fi egala cu masura unghiului APQ deci si triunghiul APQ este isoscel
Considerand X punctul de intersectie al AO cu PQ vom obtine 2 triunghiuri APX si AXQ in care:
AP congruent cu AQ (triunghi isoscel)
Unghiul P congruent cu unghiul Q (asa cum am aratat mai sus)
AX latura comuna
De aici rezulta ca triunghiul APX este congruent cu triunghiul AXQ (cazul de congruenta latura unghi latura), deci unghiul AXP este congruent cu unghiul AXQ.
AX fiind latura comuna si PX fiind congruent cu XQ si incluse ambele in PQ, unghiul AXP este egal cu 90 de grade.
De aici rezulta ca AX care este inclus in AO este perpendicular pe PQ.
Stiind ca triunghiul APX este congruent cu triunghiul AXQ rezulta ca AX congruent XQ
Cele doua combinate demonstreaza faptul ca AO este mediatoare pentru PQ.

Este foarte posibil sa existe o rezolvare mai simpla dar eu sunt deocamdata la nivelul clasei a sasea cu geometria. Pe cele de a saptea le recapitulez abia la anu

[Cornel]

Ghita, in prima faza cele doua cercuri le poti vizualiza ca desenul a doi bulgari de zapada care alcatuiesc omul de zapada; deci sunt unul peste altul si, normal, distanta dintre centrul unuia pana la centrul celuilalt e de 15; apoi pentru a afla tangenta, rastorni cumva pe o coasta omul de zapada si vei vedea ca linia distantei dintre centre se inclina mai mult in partea cercului mic normal. De aceea avem un trapez in care tangenta si cu cele doua proiectii care sunt raze sunt linii drepte iar distanta e latura oblica a trapezului. Deci acele proiectii devin baza mare si baza mica... De aici totu e dupa cum au demonstrat Manu< Ion Pop si, mai ales Campus.

[Manu]

Nu sunt de acord cu Manu ca geometria e o chestie simpla care se reduce in esenta la teorema lui Pitagora. Pana la urma partea cea mai frumoasa din geometrie e sa ajungi pana la teorema lui Pitagora (daca asta e solutia in cazul vreunei probleme) Cand ajungi la constructii mai complicate trebuie sa iti folosesti mai mult imaginatia pe cand la algebra totul se reduce la aplicarea stricta si rece a unor algoritmi foarte bine stabiliti in marea majoritate a cazurilor.

Da, dar la geometrie este o logica, iar cine are un pic de imaginatie rezolva majoritatea problemelor daca stie cateva lucruri de baza. Anumite formule din algebra nici nu stiu in ce situatii ar putea fi utilizate, probabil sunt tot felul de descoperiri ale unor proprietati mai mult sau mai putin ciudate ale numerelor, ele putand servi la dezvoltarea gandirii prin punerea mintii la contributie prin zeci de exercitii.
Mie mi-a placut cel mai mult geometria in spatiu, de obicei, cel putin pentru problemele pe care le faceam noi la clasa, incercam sa gasesc solutia in momentul pronuntarii ultimelor silabe de catre profesoara; desigur ca nu mergea chiar tot timpul, dar de la un timp te prinzi ca sunt tot felul de variatiuni pe aceeasi tema, cel putin pana la un punct sau pana la un anumit nivel.
Sunt cateva puncte de pornire si cateva teoreme la care se pot totusi reduce lucrurile, intr-adevar, farmecul fiind gasirea caii pana la acele elemente de baza prin care sa ajungi la rezultat.

Mi-a placut explicatia data de Cornel.
Nu strica cate o problema pe aici, mie imi plac.

[Cornel]

legat de problema cu tangentele din punctul a exterior unui cerc: e dupa parerea mea una din problemele care ar trebui facute in clasa, nu date ca tema; asta ma deranja intrucatva atunci cand o ajutam pe sora mea la matematica - venea cu tot felu' de probleme care tineau de descoperirea vreunei teoreme iar nu de aplicarea propriuzisa.

teorema tangentei la cerc e ca raza e perpendiculara pe tangenta in punctul de contact. daca luam M si N ca cele doua puncte unde tangentele din a ating cercul, rezulta OM si ON perpendiculare pe tangente, deci unghiuri de 90. rezulta AMON patrat in care MN si AO sunt diagonale; si toate consecintele care demonstreaza ca AO e si bisectoare si mediatoare etc'.

[Campus]

@Cornel Rezolvarea ta ar fi viabila daca distanta intre punctul A si M (locul in care atinge cercul) ar fi egala cu raza cercului. In acest caz, insa nu stim nici o distanta. Se formeaza insa 2 triiunghiuri isoscele cu aceeasi baza dar care pot avea inaltimi diferite.
Si mie imi place problema. Se trece cu ea printr-o o parte buna din geometria de clasa a sasea.

[Cornel]

ia sa vedem: ziceam ca M N sunt punctele in care tangentele din A ating cercul> OM perpendicular pe AM iar ON perpendicular pe AN; OM si ON sunt raze deci congruente. In patrulaterul AMON Unghiurile opuse M si N sunt de 90 de grade deci rezulta patrat in care toate laturile sunt egale (doua, din ele adica razele, o si demonstrasem).

[GruiaVelicu]

Salutare, in cazul asta Campus are dreptate. Distanta dintre a si p respectiv q poate fi diferita. Unghiurile opuse sunt suplementare, nu congruente. Eu ma gandisem la o rezolvare diferita face de Campus. Razele sunt perpendiculare pe tangente. unghiul opa si unghiul oqa 90 grade. op si oq congruente. ap si aq congruente rezulta triunghiul opa si opq congruente. atunci unghiurile pao qao congruente rezulta ao bisectoare. ap congruent a q rezulta triunghiul paq isoscel rezulta ao bisectoare, mediana si mediatoare.

[IonPop]

"In patrulaterul AMON Unghiurile opuse M si N sunt de 90 de grade deci rezulta patrat"

Daca intr-un patrulater unghiurile opuse sunt de 90 de grade, nu rezulta in mod obligatoriu ca acel patrulater este patrat.

[Cornel]

evident ca nu rezulta ca ar fi patrat doar afirmand ca unghiurile opuse au 90 de grade; eu o spusesem in coroborare cu faptul ca in plus avem si doua laturi alaturate care sunt congruente; ceea ce face ca acolo sa fie un patrat.

[Cornel]

poate ca am eu o imagine distorsionata despre tangenta; eu o vad ca pe linia care atinge cercul intr-un punct si se prelungeste in ambele sensuri, deci. Acuma daca am considera punctul A sa zicem foarte departe in asa fel ca unghiul A sa fie ascutit tinand cercul intre cele doua segmente, unul din ele ar cam atinge in mai mult decat un punct circumferinta. Chiar daca poate vizual ar parea perfect valabil desenul ca indicand doua tangente dintr-un unghi ascutit.
Hmmm Nu stiu ce sa zic.

[IonPop]

"evident ca nu rezulta ca ar fi patrat doar afirmand ca unghiurile opuse au 90 de grade; eu o spusesem in coroborare cu faptul ca in plus avem si doua laturi alaturate care sunt congruente; ceea ce face ca acolo sa fie un patrat."

Nici in acel caz patrulaterul nu trebuie sa fie neaparat patrat.
Intr-un patrulater suma unghiurilor trebuie sa fie de 360 grade. Daca doua unghiuri opuse au fiecare cate 90 de grade, atunci celelalte doua adunate trebuie sa aiba si ele 180 de grade. Nu trebuie insa sa aiba fiecare 90 de grade. Unul poate fi mai ascutit iar altul mai obtuz. Cu cat punctul A este mai departe de cerc, cu atat unghiul in punctul A va fi mai ascutit iar cel din centrul cercului va fi mai obtuz.


"poate ca am eu o imagine distorsionata despre tangenta; eu o vad ca pe linia care atinge cercul intr-un punct si se prelungeste in ambele sensuri"

Ai o imagine foarte buna. Exact asta este tangenta.

"deci. Acuma daca am considera punctul A sa zicem foarte departe in asa fel ca unghiul A sa fie ascutit tinand cercul intre cele doua segmente, unul din ele ar cam atinge in mai mult decat un punct circumferinta."

Trebuie sa recunosc ca nu am suficienta imaginatie ca sa imi pot imagina cum o tangenta poate sa atinga un cerc in mai multe puncte.

[Cornel]

eroarea celor care neaga faptul ca se formeaza unghiuri drepte in A si O pleaca de la faptul ca se ignora teorema conform careia tangenta nu ddoar ca atinge circumferinta cercului intr-un singur punct, dar si aici e important, raza e perpendiculara pe punctul de tangenta. Deci cei care pleaca cu desenul din punctul A plasandu-l oriunde la distanta fata de cerc si apoi trag liniile asazis tangente nu fac practic altceva decat sa traga doua segmente care nu sunt neaparat tangente.
Pornind insa de la cerc, trasandu-se cu compasul si rigla dinspre centrul O razele spre circumferinta se determina corect tangentele... E exact ceea ce indica si altii care au rezolvat problema:
a se vedea demonstratia urmatoare:
http://www.algebra.com/algebra/homework ... cle.lesson

Theorem 1
Tangent segments to a circle released from a point outside the circle are congruent.

Proof

Let us consider the circle with the center at the point O
(Figure 1a). Let A be a point in the plane outside the circle, and
AB and AC be the two tangent lines to the circle released from
the point A with the tangent points B and C.

The Theorem 1 states that the segments AB and AC are congruent.

For the proof, let us draw the radii OA and OB from the center to
the tangent points (Figure 1b).

Consider the triangles DELTAOAB and DELTAOAC.
These triangles are right-angled triangles, since the radius to the
tangent point is perpendicular to the tangent line. It is proved in the


Figure 1a. To the Theorem 1


Figure 1b. To the proof of the Theorem 1
lesson A tangent line to a circle is perpendicular to the radius drawn to the tangent point under the current topic in this site.

The triangles DELTAOAB and DELTAOAC have the common hypotenuse OA. They also have the congruent legs OA and OA as the radii of the circle.

Hence, the triangles DELTAOAB and DELTAOAC are congruent in accordance with the HL-test for right-angled triangles.

It implies that the segments AB and AC are congruent as the corresponding sides of the congruent triangles.

The proof is completed.

Theorem 2
Tangent segments to a circle released from a point outside the circle form congruent angles with the straight line connecting the point with the center of the circle.

Proof

Let us consider the circle with the center at the point O
(Figure 2a). Let A be a point in the plane outside the circle, and
AB and AC be the two tangent lines to the circle released from
the point A with the tangent points B and C.

The Theorem 2 states that the angles LOAB and LOAC are congruent.

The proof is very similar to that of the Theorem 1 above.

Let us draw the radii OA and OB from the center to the tangent points
(Figure 2b).

Consider the triangles DELTAOAB and DELTAOAC.
These triangles are right-angled triangles, since the radius to the
tangent point is perpendicular to the tangent line. It is proved in the


Figure 2a. To the Theorem 2


Figure 2b. To the proof of the Theorem 2
lesson A tangent line to a circle is perpendicular to the radius drawn to the tangent point under the current topic in this site.

The triangles DELTAOAB and DELTAOAC have the common hypotenuse OA. They also have the congruent legs OA and OA as the radii of the circle.

Hence, the triangles DELTAOAB and DELTAOAC are congruent in accordance with the HL-test for right-angled triangles.

It implies that the angles LOAB and LOAC are congruent as the corresponding angles of the congruent triangles.

The proof is completed.
H
Summary
Tangent segments to a circle released from a point outside the circle are congruent.
Tangent segments to a circle released from a point outside the circle form congruent angles with the straight line connecting the point with the center of the circle.
http://www.algebra.com/algebra/homework ... cle.lesson