Teme la matematică

[GruiaVelicu]

Salutare, m-am gandit sa va intreb si pe voi despre anumite probleme de matematica, ca mie mi se par foarte dificile. Sunt de clasa a VI-a.
As vrea o parere, in sensul cum vi se par.

Prima problema este ceva de genul:
raportul dintre aria a doua patrate este 0,09, sa se afle raportul dintre laturile celor doua patrate.

Cea de-a doua problema suna in felul urmator:
raportul dintre perimetru a doua patrate este 1,8, sa se afle raportul dintre laturile patratelor.

Si fiindca mi-am mai adus aminte de una, o scriu si pe aia:
raportul dintre laturile a doua patrate este 3/1: sa se afle raportul dintre perimetrele patratelor.
Va rog sa tineti cont ca e vorba de probleme de clasa a sasea.

[IonPop]

Dificultatea problemelor depinde in mod evident de fiecare copil in parte, dar depinde foarte mult si de priceperea profesorului, fiindca daca el stie sa explice foarte bine si notiuni complexe, copiii pot intelege mai usor.
Cand eram elev la scoala exista o revista de matematica celebra numita Gazeta matematica, din care evident, nu am studiat noi la scoala. Dar intamplator am pus mana pe cateva exemplare si am vazut ca acolo era specificata clasa pentru care sunt destinate problemele si exercitiile, insa am citit niste probleme care nici nu intelegeam la ce se refera, in niciun caz nu eram in stare sa le rezolv, dar sunt absolut sigur ca nu ar fi stiut sa le rezolve nici profesoara noastra, care era una foarte slaba in domeniu.

In legatura cu problemele de care spuneai, este de obicei mai usor sa faci un exercitiu asemanator dar cu numere diferite pentru a vedea in mod empiric care ar trebui sa fie raportul intre laturi, perimetre, arii.

Adica te poti gandi ca ai doua patrate, unul cu latura de 2 si altul cu latura de 4. Raportul intre ele va fi 2 / 4, adica 0.5.
Aria lor va fi 2 * 2 = 4 si 4 * 4 = 16.
Raportul intre arii va fi deci 4 / 16, adica 0.25.

Deci daca raportul intre arii este de 0.25, iar raportul intre laturi de 0.5, inseamna ca raportul intre laturi este radical din raportul intre arii.

Mai clar este daca facem raportul invers, adica sa impartim numarul mai mare la cel mai mic.
Raportul intre arii: 16 / 4 = 4 respectiv 4 / 2 = 2.
De unde reiasa din nou ca raportul intre laturi, adica 2 este radical din raportul intre arii.

In cazul tau, radical din 0.09 este 0.3, deci raportul intre laturi este 0.3.

Te poti gandi si altfel, matematiceste, nu empiric aplicand urmatoarele formule:
l1 = latura primului patrat
l2 = latura celui de al doilea patrat
a1 = aria primului patrat
a2 = aria celui de al doilea patrat

a1 = l1 * l1
a2 = l2 * l2
a1 / a2 = 0.09

deci:
l1 * l1 / l2 * l2 = 0.09
l1 / l2 * l1 / l2 = 0.09
(l1 / l2) ** 2 = 0.09

(l1 / l2) **2 inseamna (l1 / l2) ridicat la puterea a doua

De unde reiasa ca l1 / l2 = radical din 0.09

Referitor la problema cu perimetrele:

p1 = l1 * 4
p2 = l2 * 4
p1 / p2 = 1.8
l1 * 4 / l2 * 4 = 1.8
l1 / l2 * 4 / 4 = 1.8
l1 / l2 = 1.8

Deci raportul intre laturi este tot 1.8

Si putem verifica prin metoda empirica, luand alte valori ca exemplu, de exemplu un patrat cu latura de 3 si altul de 2.
p1 = 3 * 4 = 12
p2 = 2 * 4 = 8
Raportul intre perimetre este de 12 / 8 = 1.5
Iar raportul intre laturi este de 3 / 2, adica tot de 1.5.

Iar la cea de a treia problema:
l1 / l2 = 3 / 1
l1 / l2 = 3
l1 = l2 * 3
p1 = l1 * 4
p2 = l2 * 4
p1 = l2 * 3 * 4 (deoarece l1 = l2 * 3)

deci scrise in alta ordine, pentru a fi mai clar:
p1 = l2 * 4 * 3

De unde reiese ca
p1 = p2 * 3
deci:
p1 / p2 = 3

Deci prin inca o metoda reiese ca raportul dintre laturi este acelasi ca raportul intre perimetre.

Mai simplu te poti gandi ca perimetrul este latura inmultita cu 4 pentru ambele patrate, deci le-ai putea imparti pe amandoua la constanta 4 si vei ajunge la simplul raport intre laturi.

Apropos de dificultatea problemelor, nu se poate spune pur si simplu daca sunt prea simple sau prea complicate, fiindca depinde de multe lucruri.
Nu doar sistemul de invatamant din Romania de la nivel de clasa intai pana la doctorat este de o calitate foarte proasta, ci intreg sistemul economic, incat este usor de cerut, dar foarte dificil de schimbat substantial in bine acest sistem de invatamant.
Asa ca profesorii nu ii invata bine pe copii, nu exista prioritati in sistemul de invatamant, ci absolut toate materiile sunt considerate la fel de importante, copiilor nu li se spune de la inceput la ce ii va ajuta pe ei daca invata ce trebuie sa invete, ci doar pur si simplu li se spune ca trebuie sa invete ceva, doar ca profesorii nu se omoara sa verifice daca copiii stiu, ci doar daca reusesc sa memoreze, fiindca este mai usor, asa ca copiii nu sunt motivati, dupa cum nici profesorii nu sunt prea motivati sa se zbata ca sa ii invete pe copii etc.

In consecinta, parintii sunt de obicei de parerea ca copiii trebuie sa invete prea mult la scoala, dar asta nu fiindca nu le-ar placea ca copiii lor sa stie mai multe, ci fiindca daca nu stiu, copiii nu pot sa ii intrebe pe profesori iar acestia sa le explice pana inteleg, ci trebuie sa ii intrebe pe parinti, iar cum si parintii au facut de obicei o scoala la fel de buna cand erau copii, si au invatat si ei ca sa tina minte doar pana la lucrarea de control urmatoare, este normal ca au mari batai de cap cu astfel de probleme sau altele si mai complicate, si este demotivant sa vada ca nu stiu sa rezolve nici niste probleme de scoala generala.
Este de asemenea rau fiindca daca parintii nu pot sa le rezolve problemele copiilor, acestia isi pierd autoritatea de a le cere copiilor sa invete, spunandu-le ca asta ii va ajuta in viata, fiindca copiii vad bine ca parintii nu stiu sa le rezolve problemele.

Si aici mai are importanta si cultura romaneasca destul de stupida, in care toata lumea trebuie sa stie de toate, dar practic majoritatea este destul de slab pregatita in toate domeniile. Am cunostinte prin alte tari care tot continua sa se mire cum de acolo doctorii spun ca nu se pricep la un domeniu si ii recomanda pe alti doctori ca fiind mai priceputi. La noi nu cred ca sunt multi doctori care ar recunoaste ca exista alti doctori mai buni decat ei in acelasi domeniu.

Mie mi se pare absolut inadmisibil ca un copil sa ii spuna profesorului ca nu a inteles ceva, iar profesorul sa il trimita la plimbare, sau sa ii spuna sa isi intrebe parintii, de parca parintii ar trebui sa stie cat stiu cativa profesori la un loc ca sa isi poata ajuta copiii la cateva materii.

Profesorii nu ar trebui sa ii invete pe copii doar cum sa memoreze, ci cum sa gandeasca, si sa verifice daca ei pot gandi bine, si daca nu pot, sa ii faca sa poata. Asta este singurul rol al profesorilor.
In mod normal, daca doar sistemul de invatamant ar fi o problema in Romania, parintii ar trebui sa le spuna copiilor sa isi intrebe profesorii, fiindca de aceea sunt platiti profesorii, iar daca profesorii considera ca materia pe care o predau ei este potrivita pentru varsta copiilor, ar trebui sa fie in stare sa o predea atat de bine incat copiii sa o inteleaga din clasa, fara sa mai fie sa isi intrebe copiii sau sa plateasca alti profesori ca sa ii invete. Iar daca considera ca nu este potrivita, fiind prea complicata, atunci ar trebui sa faca un memoriu la ministerul invatamantului si sa ceara modificarea programei.

Eu nu mai tin prea multe minte din cate lucruri am invatat la scoala si mai ales la liceu care este si mai recent, si daca as avea un copil care m-ar intreba despre ele este clar ca nu i-as putea da prea usor un raspuns, si oricum probabil nu unul sigur.

[GruiaVelicu]

Salutare, problemele au fost rezolvate, evident in mare parte de mine. Intrebarea era daca sunt normale pentru clasa a sasea sau mai precis pentru majoritatea copiilor din clasa a sasea. Cu siguranta sunt si copii care pot face asa ceva, da majoritatea pot? Oricum nicic problema de folosirea radicalilor ca se fac mai tarziu.

[IonPop]

Daca cea mai mare parte a copiilor stiu sa rezolve problema, inseamna ca nu este una prea grea. Este foarte normal sa nu stie toti sa o rezolve, si ar fi anormal ca toti elevii sa ia intotdeauna nota 10 la anumite materii. Daca s-ar intampla asa, ar insemna ca materia pe care trebuie sa o invete este prea simpla.
Iar asta nu ar trebui sa se observe doar la nivelul unui oras sau la nivelul unei scoli, ci la nivel national.

Daca insa doar un numar foarte mic de elevi rezolva problema, inseamna ca nu este bine, fiindca este prea dificila, iar in invatamantul de mase ar trebui sa se dea probleme pentru mase, nu doar pentru cateva genii.
Este greu sa ne dam noi seama daca o problema este prea grea sau prea usoara pentru copii, fiindca lucrurile se schimba in timp, nivelul de educatie al elevilor poate sa fi crescut sau scazut de cand eram noi elevi, si apoi sincer sa fiu nici nu mai tin minte exact ce tipuri de probleme primeam noi in fiecare an de scoala ca sa pot face o comparatie directa intre ce se facea in trecut si ce se face acum.
Deci "prea usor" sau "prea dificil" trebuie stabilit in functie de nivelul de pregatire al elevilor din prezent.

Doar ca datorita sistemului de invatamant de calitate proasta pe care il avem, acest lucru este imposibil de stabilit tocmai fiindca parintii rezolva problemele copiilor, ceea ce este absolut anormal, fiindca se va face o comparatie intre cunostintele parintilor, iar copiii vor ramane la fel de nestiutori.

Noi avem un sistem asa zis capitalist, dar bazat tot pe o gandire comunista, in care titlul de profesor este vazut aproape ca un titlu de noblete, fara sa conteze cat de bun sau de slab este profesorul, asta mai ales ca in prezent exista o adevarata mafie in sistemul de invatamant, chiar si in scolile generale, fiind o adevarata bataie pe scolile considerate ceva mai bune. Drept urmare, parintii nu au curajul sa le spuna profesorilor ca ei profesorii trebuie sa ii invete pe copii, nu parintii, si asta acolo la scoala in timpul orelor de curs, nu dupa masa contra unor taxe suplimentare.

Este absolut anormal ca profesorii sa le dea elevilor probleme in care trebuie sa foloseasca cunostinte care inca nu le-au fost predate. Daca asta vrei sa sti, adica daca de asta intrebai daca problema este prea dificila, atunci ei bine nu conteaza cat de simpla sau de dificila este, ci conteaza ca elevii trebuie sa fi invatat la scoala toti pasii pentru rezolvarea unei astfel de probleme si nu ar trebui sa le ceara copiilor sa stie si lucruri pe care nu le-au invatat inca.
Cred ca ar trebui sa ii spui profesorului care a dat acele probleme sa iti spuna care ar fi trebuit sa fie pasii de rezolvare a lor, si sa il intrebi daca el sau alti profesori au predat acei pasi anterior, fiindca cine stie, uneori pentru rezolvarea unei probleme exista mai multe metode, si poate ca copiii au invatat pasii care compun una dintre ele.

Cand eram elev la liceu, la algebra invatam la un moment dat despre diverse artificii de calcul, unele dintre ele ar fi fost utile si in probleme de genul celor despre care spuneai, insa acele artificii dupa cum le spunea si numele erau diverse tehnici de grupare si reducere a componentelor unei ecuatii, pentru a o putea rezolva, nefiind un numar bine specificat de artificii. Deci pe langa cunostintele de matematica statice si clare cum este tabla inmultirii mai era nevoie si de imaginatie si de experienta. Ei bine, noi fiind elevi si inca nu intr-un liceu cu specific de matematica, nu aveam cine stie ce experienta, iar daca unii dintre noi nu erau pasionati de matematica, nu intelegeam prea multe despre acele artificii de calcul, tocmai fiindca nu erau clare, ci ar fi trebuit sa tot exersam, sa studiem multe probleme si moduri de rezolvare etc.
Profesorii nu ar fi putut niciodata sa ne predea de la A la Z acele artificii, fiindca chiar daca ca idee nu erau foarte multe, era destul de greu sa observi cand se poate aplica unul sau altul si in ce ordine daca nu aveam experienta, iar experienta nu aveam fiindca nu ne prea placea sa studiem in plus fata de ce faceam la scoala, si asta fiindca profesorii erau suficient de slab pregatiti incat sa nu ne faca sa ne placa matematica.

Eu am avut 3 diriginte, toate de matematica, una mai proasta decat alta.
Uneia ii pregatea sotul lectiile si ce trebuie sa predea,f iindca si el era profesor de matematica, dar mai bun, alta era o domnisoara batrana care ar fi trebuit sa iasa la pensie cu cativa ani in urma, dar careia nu puteam sa ii spunem ca nu am inteles ceva, fiindca striga la noi ca suntem prosti, si oricum nu ne explica, iar a treia ne-a fost profesoara doar in ultimul an de liceu si care atunci a predat pentru prima data pentru o clasa de liceu, pana atunci predand doar la o scoala profesionala.
Asta din urma ne punea sa rezolvam probleme la tabla, iar la sfarsitul orei ne punea sa ne uitam la sfarsitul cartii ca sa vedem daca rezultatul e cel pe care l-am dat noi.
Iar daca cumva nu era bine, ne spunea sa studiem cu totii acasa ce nu a fost bine si sa rezolvam problema. Doar ca niciodata nu mai verifica pe nimeni in legatura cu acea problema. Adica nu a fost corect si gata, nu mai conteaza de ce.

[Manu]

In ceea ce priveste problemele de mai sus, cred ca cele in legatura cu raportul intre laturi si cel dintre perimetre ar trebui sa fie ceva destul de usor pentru oricine, pana la urma e suficient daca s-a operat cat de cat cu rapoarte. Metoda incercarilor cu valori diferite pana la urma duce la rezultat.
Cea cu laturi si arii e putin mai abstracta.

E intr-adevar greu de spus cat poate un elev sa faca in clasa a VI-a, noi cred ca faceam mai mult operatii standard, nu erau atatea variatiuni.

[GruiaVelicu]

Salutare, am zis sa mai revin cu o problema de matematica. Mentionez ca pana la urma am reusit sa ii dau de cap da dupa ce a plecat copilul la scoala. Se dau doua cercuri de centru o1 si o2. r1=10 r2=5. distanta dintre o1 si o2=15. Sa se calculeze lungimea tangentei exterioare celor doua cercuri. Tangenta exterioara este o linie care atinge cercurile in cate un punct.

[Manu]

Nu prea inteleg ce e aia tangenta exterioara, daca e vorba doar de faptul ca e o linie care este pentru cercuri ca o strada pentru doua roti de bicicleta, logic ar fi sa fie egala cu distanta dintre O1 si O2, deci 15.
Dar cu siguranta nu am inteles ce inseamna ca ceva sa atinga un cerc in cate un punct, asa pare prea simplu...

[GruiaVelicu]

Salutare, ai intales bine, tangenta penntru cele doua cercuri e ca o strada. Doar ca cele doua cercuri sau roti nu sunt egale, deci nu e aceas distanta. Practic intre tangenta aia, cele doua raze si distanta dintre cele doua centre se formeaza un trapez dreptunghic in care tangenta e latura perpendiculara pe cele doua baze si distanta dintre cele doua centre e cea de-a patra latura. Tangenta este astfel inaltimea trapezului. Dupa ce iti dai seama de asta problema devine destul de simpla.

[IonPop]

Ar trebui sa fie radical din 200, nu?

[GruiaVelicu]

Da

[Manu]

Da, asa este, in graba nici nu am mai gandit ca cercurile sunt inegale. Totusi, dupa un desen cred ca se observa destul de usor trapezul...
Tot Pythagora rezolva problema, radical din 15 la patrat minus 5 la patrat, O1O2 fiind latura neperpendiculara de 15 cm, deci suma celor doua raze, iar 5 este baza mare minus baza mica.
Totusi, cred ca nu e o problema grea pentru clasa a saptea, e doar atat ca trebuie sa gasesti trapezul, fapt care se poate doar cu un desen executat bine, deci fara cunostinte. Cred ca geometria este mai usoara decat algebra, aici fiind posibila rezolvarea problemelor pe baza unor minime cunostinte. La algebra sunt tot felul de formule care nu pot fi deduse cu usurinta. In cazul geometriei, un procent foarte mare din probleme se rezuma la teorema lui Pythagora.

[Ghita Potra]

Mă iertaţi că intervin, totul este corect mai puţin rezultatul. Eu cred că rezultatul este radical din 250 tangenta respectivă fiind ipotenuza triunghiului rezultat.

[IonPop]

Daca tangenta este ipotenuza, unde se formeaza unghiul drept?

[GruiaVelicu]

Salutare, raspunsul dat de Ion Pop este cel corect.

[Campus]

Salut
Fiindca acuma am putin timp postez si eu un raspuns mai detaliat la problema asta.
Prima data am crezut ca pot porni la rezolvarea ei construind figura prin asezarea cercurilor unul peste altul astfel incat o1-o2 sa fie baza trapezului format dar, acesta nu e un punct viabil de pornire deoarece e vorba de o tangenta exterioara a cercurilor adica o linie care poate atinge cercul intr-un singur punct.
Eu va admir foarte mult pentru faptul ca reusiti sa rezolvati astfel de probleme fara desen dar mie imi e aproape imposibil.
Am pornit de la tangenta ca linie de baza (R1 R2) pe care am dus 2 perpendiculare (O1 R1 = 10 cm si O2 R2 = 5 cm). Stim ca O1 O2 = 15 cm. Obtinem trapezul culcat in acest caz si prin paralela O2 X pe O1 R1 delimitam un triunghi dreptunghic O1 O2 X in care cunoastem ipotenuza (O1 O2 = 15 cm si o cateta (O1 X = O1 R1 -O2 R2 = 5 cm (Asa cum zicea Manu, baza mare minus baza mica)
De aici, asa cum s-a spus ramane teoria lui pitagora
O2 X =Radical din 15 patrat - 5 patrat = radical din 225 - 25 = radical din 200.
Stiu ca ati dat deja raspunsul corect dar mi-a placut foarte mult problema
Nu sunt de acord cu Manu ca geometria e o chestie simpla care se reduce in esenta la teorema lui Pitagora. Pana la urma partea cea mai frumoasa din geometrie e sa ajungi pana la teorema lui Pitagora (daca asta e solutia in cazul vreunei probleme) Cand ajungi la constructii mai complicate trebuie sa iti folosesti mai mult imaginatia pe cand la algebra totul se reduce la aplicarea stricta si rece a unor algoritmi foarte bine stabiliti in marea majoritate a cazurilor.