Si, acum, o problema din caietul de clasa a IX-a a lui Andy:
Trei marinari şi o maimuţă naufragiază pe o insulă... şi găsesc o grămadă de nuci de cocos; primul ia jumătate din numărul de nuci găsite plus o jumătate de nucă; al doilea jumătate din numărul de nuci rămase plus o jumătate de nucă, iar al treilea, evident, jumătate din numărul de nuci rămase plus o jumătate de nucă.
mai rămîne o nucă pentru maimuţă. cîte nuci erau ?
Succes, Cris
O problema cu nuci de cocos
Moderator: Manu
Numărul de nuci găsite este 15.
Metoda I:
Notăm pentru uşurinţă cu N numărul de nuci găsite.
Dublul numărului de nuci luate de primul marinar = N + o nucă.
Dublul numărului de nuci rămase după ce a luat nuci primul marinar = 2N –dublul numărului de nuci luate de primul marinar = 2N – (N + o nucă) = N - o nucă
Dublul numărului de nuci luate de al doilea marinar = numărul de nuci rămase după ce a luat nuci primul marinar + o nucă = N:2 – jumătate de nucă + o nucă = N:2 + jumătate de nucă
Dublul numărului de nuci luate de primii doi marinari = N + o nucă + N :2 + jumătate de nucă
Dublul numărului de nuci rămase după ce au luat nuci primii doi marinari = 2N - dublul numărului de nuci luate de primii doi marinari = 2N – (N + o nucă + N:2 + jumătate de nucă ) = N - o nucă – N :2 - jumătate de nucă = N:2 - o nucă- jumătate de nucă
Dublul numărului de nuci luate de al treilea marinar = numărul de nuci rămase după ce au luat nuci primii doi marinari + o nucă = N:4 - jumătate de nucă- un sfert de nucă+ o nucă = N:4 + jumătate de nucă- un sfert de nucă = N:4 + un sfert de nucă
Dublul numărului de nuci luate de cei trei marinari = N + o nucă + N:2 + jumătate de nucă + N : 4 + un sfert de nucă.
2N - dublul numărului de nuci luate de cei trei marinari = două nuci ( adică dublul numărului de nuci rămase pentru maimuţă).
2N- (N + o nucă + N :2 + jumătate de nucă + N : 4 + un sfert de nucă ) = N - o nucă – N :2 - jumătate de nucă – N : 4 - un sfert de nucă = N : 4 - 7 sferturi de nucă = două nuci
N : 4 = 7 sferturi de nucă + două nuci = o nucă + trei sferturi de nucă + două nuci = 3 nuci + trei sferturi de nucă
N = 12 nuci + 3 nuci = 15 nuci
Primul marinar a luat 8 nuci, al doilea marinar a luat 4 nuci, al treilea marinar a luat 2 nuci şi a rămas o nucă pentru maimuţă.
15 – 8 – 4 – 2 = 1
(Primul marinar a luat 15:2 + 1:2 = 16:2 = 8 nuci şi au rămas 15- 8 = 7 nuci, al doilea a luat 7:2 + 1:2 = 8:2 = 4 nuci şi au rămas 7- 4 = 3 nuci, al treilea marinar a luat 3:2 + 1:2 = 4 : 2 = 2 nuci şi a rămas o nucă pentru maimuţă.)
Metoda II:
Folosind metoda grafică.
Se ia un segment care să însemne numărul de nuci găsite.Pentru a reprezenta numărul de nuci luate de primul marinar se împarte segmentul în două părţi egale şi se reprezintă în continuare ( spre dreapta) încă un segment mai mic, ce reprezentă jumătate de nucă. Segmentul care rămâne în partea dreaptă reprezentă numărul de nuci rămase după ce a luat nuci primul marinar. Pentru a reprezenta numărul de nuci luate de al doilea marinar, se împarte şi acest segment în două părţi egale şi se adaugă acel segment mai mic ce reprezintă jumătate de nucă. Segmentul care rămâne în partea dreaptă reprezentă numărul de nuci rămase după ce au luat nuci primii doi marinari. Pentru a reprezenta numărul de nuci luate de al treilea marinar se împarte acest segment în două părţi egale şi se adaugă acel segment mai mic, ce reprezintă jumătate de nucă. Partea ce rămâne până la extremitatea din dreapta a segmentului iniţial reprezintă o nucă, cea care rămâne pentru maimuţă.
Notăm pentru uşurinţă cu N numărul de nuci găsite.
Se observă că:
primul marinar a luat N:2 +1:2 = (N + 1 ) : 2 (nuci);
al doilea marinar a luat ( N:2 – 1:2) : 2 + 1:2 = (N + 1 ) : 4 (nuci);
al treilea marinar a luat ( N:2 – 1:2 – cât a luat al doilea marinar) :2 + 1:2 = [( N-1) : 2 – ( N + 1) :4]: 2 +1:2 = (N + 1 ) : 8 (nuci).
Cei trei marinari au luat (N + 1 ) : 2 + (N + 1 ) : 4 + (N + 1 ) : 8 = (N + 1 ) ( 1:2 +1:4 + 1:8 ) = 7 (N + 1 ) :8 (nuci) .
Pentru maimuţă a rămas N - 7 (N + 1 ) :8 = 1 (nuci)
8N - 7 (N + 1 ) = 8
8N – 7N – 7 = 8
N = 15 (nuci) .
Înlocuind pe N cu 15 se obţine că primul marinar a luat 8 nuci, al doilea marinar a luat 4 nuci, al treilea marinar a luat 2 nuci şi a rămas o nucă pentru maimuţă.
15 – 8 – 4 – 2 = 1
Metoda I:
Notăm pentru uşurinţă cu N numărul de nuci găsite.
Dublul numărului de nuci luate de primul marinar = N + o nucă.
Dublul numărului de nuci rămase după ce a luat nuci primul marinar = 2N –dublul numărului de nuci luate de primul marinar = 2N – (N + o nucă) = N - o nucă
Dublul numărului de nuci luate de al doilea marinar = numărul de nuci rămase după ce a luat nuci primul marinar + o nucă = N:2 – jumătate de nucă + o nucă = N:2 + jumătate de nucă
Dublul numărului de nuci luate de primii doi marinari = N + o nucă + N :2 + jumătate de nucă
Dublul numărului de nuci rămase după ce au luat nuci primii doi marinari = 2N - dublul numărului de nuci luate de primii doi marinari = 2N – (N + o nucă + N:2 + jumătate de nucă ) = N - o nucă – N :2 - jumătate de nucă = N:2 - o nucă- jumătate de nucă
Dublul numărului de nuci luate de al treilea marinar = numărul de nuci rămase după ce au luat nuci primii doi marinari + o nucă = N:4 - jumătate de nucă- un sfert de nucă+ o nucă = N:4 + jumătate de nucă- un sfert de nucă = N:4 + un sfert de nucă
Dublul numărului de nuci luate de cei trei marinari = N + o nucă + N:2 + jumătate de nucă + N : 4 + un sfert de nucă.
2N - dublul numărului de nuci luate de cei trei marinari = două nuci ( adică dublul numărului de nuci rămase pentru maimuţă).
2N- (N + o nucă + N :2 + jumătate de nucă + N : 4 + un sfert de nucă ) = N - o nucă – N :2 - jumătate de nucă – N : 4 - un sfert de nucă = N : 4 - 7 sferturi de nucă = două nuci
N : 4 = 7 sferturi de nucă + două nuci = o nucă + trei sferturi de nucă + două nuci = 3 nuci + trei sferturi de nucă
N = 12 nuci + 3 nuci = 15 nuci
Primul marinar a luat 8 nuci, al doilea marinar a luat 4 nuci, al treilea marinar a luat 2 nuci şi a rămas o nucă pentru maimuţă.
15 – 8 – 4 – 2 = 1
(Primul marinar a luat 15:2 + 1:2 = 16:2 = 8 nuci şi au rămas 15- 8 = 7 nuci, al doilea a luat 7:2 + 1:2 = 8:2 = 4 nuci şi au rămas 7- 4 = 3 nuci, al treilea marinar a luat 3:2 + 1:2 = 4 : 2 = 2 nuci şi a rămas o nucă pentru maimuţă.)
Metoda II:
Folosind metoda grafică.
Se ia un segment care să însemne numărul de nuci găsite.Pentru a reprezenta numărul de nuci luate de primul marinar se împarte segmentul în două părţi egale şi se reprezintă în continuare ( spre dreapta) încă un segment mai mic, ce reprezentă jumătate de nucă. Segmentul care rămâne în partea dreaptă reprezentă numărul de nuci rămase după ce a luat nuci primul marinar. Pentru a reprezenta numărul de nuci luate de al doilea marinar, se împarte şi acest segment în două părţi egale şi se adaugă acel segment mai mic ce reprezintă jumătate de nucă. Segmentul care rămâne în partea dreaptă reprezentă numărul de nuci rămase după ce au luat nuci primii doi marinari. Pentru a reprezenta numărul de nuci luate de al treilea marinar se împarte acest segment în două părţi egale şi se adaugă acel segment mai mic, ce reprezintă jumătate de nucă. Partea ce rămâne până la extremitatea din dreapta a segmentului iniţial reprezintă o nucă, cea care rămâne pentru maimuţă.
Notăm pentru uşurinţă cu N numărul de nuci găsite.
Se observă că:
primul marinar a luat N:2 +1:2 = (N + 1 ) : 2 (nuci);
al doilea marinar a luat ( N:2 – 1:2) : 2 + 1:2 = (N + 1 ) : 4 (nuci);
al treilea marinar a luat ( N:2 – 1:2 – cât a luat al doilea marinar) :2 + 1:2 = [( N-1) : 2 – ( N + 1) :4]: 2 +1:2 = (N + 1 ) : 8 (nuci).
Cei trei marinari au luat (N + 1 ) : 2 + (N + 1 ) : 4 + (N + 1 ) : 8 = (N + 1 ) ( 1:2 +1:4 + 1:8 ) = 7 (N + 1 ) :8 (nuci) .
Pentru maimuţă a rămas N - 7 (N + 1 ) :8 = 1 (nuci)
8N - 7 (N + 1 ) = 8
8N – 7N – 7 = 8
N = 15 (nuci) .
Înlocuind pe N cu 15 se obţine că primul marinar a luat 8 nuci, al doilea marinar a luat 4 nuci, al treilea marinar a luat 2 nuci şi a rămas o nucă pentru maimuţă.
15 – 8 – 4 – 2 = 1
-
cristina.vuscan
Raspunsul e corect... Dar, metoda grafica... E foarte utilizata si utila, dar spuneam mai pe la inceputurile istorice ale acestei rubrici ca vom cauta sa gasim solutii care sa foloseasca cat mai putim instrumentele matematice... Iar prima metoda, pare destul de complicata si artificiala pentru gandirea obisnuita a unui om nefamiliarizat cu matematica... Poate ca exagerez putin, dar ma gandesc ca trebuie sa fie si o solutie mai naturala si deci mai apropiata de intelesul tuturor....
Ok! Am să revin asupra problemei, cu altă metodă de rezolvare (Sper să fie bună.) Am scris ceva, dar nu am terminat şi mă grăbesc.
Referitor la cele două metode postate, metoda grafică se învaţă în clasa a 4-a, iar la prima metodă ar fi trebuit să explic mai pe înţelesul tuturor. M-am culcat cu gândul că trebuie să fie o rezolvare mai simplă. Nu ştiu de ce mă complic. Nu e prima dată când fac lucrul ăsta. Lucrurile sunt simple, iar eu le complic...Oare nu ştiu să mai gândesc simplu, sau doar mă ramolesc?
Referitor la cele două metode postate, metoda grafică se învaţă în clasa a 4-a, iar la prima metodă ar fi trebuit să explic mai pe înţelesul tuturor. M-am culcat cu gândul că trebuie să fie o rezolvare mai simplă. Nu ştiu de ce mă complic. Nu e prima dată când fac lucrul ăsta. Lucrurile sunt simple, iar eu le complic...Oare nu ştiu să mai gândesc simplu, sau doar mă ramolesc?
-
cristina.vuscan
Lucrurile complicate sunt frumoase in dragoste, unde e mai romantic asa, dar nu in matematica... Stiu eu ce vrei sa zici tu cu metoda grafica, numai ca, spre exemplu, mama habar n-are ce e aia si cred ca nici vecina de alaturi...
O posibila simpla rezolvare ar putea incepe cam asa: maimuta, care e ultima, a luat si ea jumatate din ce a ramas+ o jumatate de nuca, adica o nuca intreaga. Cu alte cuvinte, cand s-a trezit maimuta nu mai era decat o nuca... Cel dinaintea ei, a lasat o nuca dupa ce a luat si el jumatate din nucile ramase + o jumatate de nuca. Adica, dupa ce el a facut impartirea a mai ramas o nuca si jumatate... etc, etc... Cris
O posibila simpla rezolvare ar putea incepe cam asa: maimuta, care e ultima, a luat si ea jumatate din ce a ramas+ o jumatate de nuca, adica o nuca intreaga. Cu alte cuvinte, cand s-a trezit maimuta nu mai era decat o nuca... Cel dinaintea ei, a lasat o nuca dupa ce a luat si el jumatate din nucile ramase + o jumatate de nuca. Adica, dupa ce el a facut impartirea a mai ramas o nuca si jumatate... etc, etc... Cris
Draga mea, oare problema asta mă dă de gol? Aşa este, sunt o romantică, ascult Chopin în fiecare zi şi nu mă satur. Chiar şi atunci când rezolv problemele propuse de tine ascult muzică...
Dar să ştii că am observat că numai Andreea şi cu mine rezolvăm în ultimul timp probleme pe aici. Tu crezi că citeşte cineva rezolvările noastre? Oare mama ta, ori vecina ta citesc? Asta ca să glumesc puţin.
Am văzut că ai postat ceva, dar acum postez varianta mea, care este mai complicată, aşa cum îmi place mie... Parcă văd că ai să spui „ hm, hm,...”. Merg să mănânc ceva, că văd o foame de lup şi după aceea mă gândesc la modul de rezolvare. Nu este nici o grabă, nu? În altă ordine de idei, problema asta era cu dedicaţie specială pentru mine?
Am ajuns azi la o concluzie: dacă ar fi să aleg între a asculta Chopin şi a rezolva probleme de mate, să ştii că aleg Chopin!
Să vezi cum m-am gândit azi să rezolv problema:
Deoarece primul marinar ia jumătate din numărul de nuci găsite plus o jumătate de nucă , înseamnă că numărul de nuci găsite trebuie să fie un număr impar.
Trebuie ca după ce fiecare din marinari ia nuci, să rămână un număr impar de nuci, astfel încât adunată jumătatea de nucă să poată da un număr întreg de nuci. Numerele impare consecutive cele mai mici sunt 1, 3, 5, 7. Pentru a obţine un număr impar, trebuie să scădem din numărul impar de nuci, un număr par de nuci. Deci fiecare din marinari a luat un număr par de nuci. Împărţirea nu s-a făcut în mod egal, fiecare dintre marinari a luat un număr par de nuci , acesta scăzând, de la primul până la al treilea marinar ( sau crescând de la al treilea la primul marinar). Al doilea şi al treilea marinar au luat împreună un număr de nuci mai mic decât a luat primul marinar.
Numărulde nuci găsite trebuie să fie un număr întreg impar cel puţin egal cu 1 + 2 + 4 + 6.
Numărul de nuci pe care îl poate lua al treilea marinar este 2. Următoarele două numere pare sunt 4 şi 6. Dacă al doilea marinar ar lua 4 nuci, iar primul marinar ar lua 6 nuci, ar da pentru al doilea şi al treilea marinar (împreună) un număr egal cu cel luat de primul, imposibil. Primul marinar trebuie să ia un număr (par ) mai mare decât 6. Deci primul marinar a luat 8 nuci.
2+4+8=14 numărul de nuci luat de cei trei marinari
14+1=15 numărul total de nuci
Dar să ştii că am observat că numai Andreea şi cu mine rezolvăm în ultimul timp probleme pe aici. Tu crezi că citeşte cineva rezolvările noastre? Oare mama ta, ori vecina ta citesc? Asta ca să glumesc puţin.
Am văzut că ai postat ceva, dar acum postez varianta mea, care este mai complicată, aşa cum îmi place mie... Parcă văd că ai să spui „ hm, hm,...”. Merg să mănânc ceva, că văd o foame de lup şi după aceea mă gândesc la modul de rezolvare. Nu este nici o grabă, nu? În altă ordine de idei, problema asta era cu dedicaţie specială pentru mine?
Am ajuns azi la o concluzie: dacă ar fi să aleg între a asculta Chopin şi a rezolva probleme de mate, să ştii că aleg Chopin!
Să vezi cum m-am gândit azi să rezolv problema:
Deoarece primul marinar ia jumătate din numărul de nuci găsite plus o jumătate de nucă , înseamnă că numărul de nuci găsite trebuie să fie un număr impar.
Trebuie ca după ce fiecare din marinari ia nuci, să rămână un număr impar de nuci, astfel încât adunată jumătatea de nucă să poată da un număr întreg de nuci. Numerele impare consecutive cele mai mici sunt 1, 3, 5, 7. Pentru a obţine un număr impar, trebuie să scădem din numărul impar de nuci, un număr par de nuci. Deci fiecare din marinari a luat un număr par de nuci. Împărţirea nu s-a făcut în mod egal, fiecare dintre marinari a luat un număr par de nuci , acesta scăzând, de la primul până la al treilea marinar ( sau crescând de la al treilea la primul marinar). Al doilea şi al treilea marinar au luat împreună un număr de nuci mai mic decât a luat primul marinar.
Numărulde nuci găsite trebuie să fie un număr întreg impar cel puţin egal cu 1 + 2 + 4 + 6.
Numărul de nuci pe care îl poate lua al treilea marinar este 2. Următoarele două numere pare sunt 4 şi 6. Dacă al doilea marinar ar lua 4 nuci, iar primul marinar ar lua 6 nuci, ar da pentru al doilea şi al treilea marinar (împreună) un număr egal cu cel luat de primul, imposibil. Primul marinar trebuie să ia un număr (par ) mai mare decât 6. Deci primul marinar a luat 8 nuci.
2+4+8=14 numărul de nuci luat de cei trei marinari
14+1=15 numărul total de nuci
-
cristina.vuscan
Da, pare mai frumusica decat primele doua rezolvari... Totusi, nu inteleg de ce ar trebui ca fiecare marinar sa ia un numar intreg de nuci... Nu ar putea sa iaunul, de pilda, doua nuci si jumatate? E adevarat ca e cam nefiresc sa procedeze astfel, dar nu imposibil... Daca privim astfel lucrurile, atunci rezolvarea e corecta si frumoasa... Mai ramane sa-mi argumentezi partea cu numarul intreg de nuci... Firescul pare sa fie un argument... Astept sa duca la bun sfarsit cineva si rezolvarea pe care am indicat-o eu... Cris
-
Emanuel.Selaru
- Maior
- Mesaje: 728
- Membru din: 28 Mar 2008, 10:20
- Localitate: Buzau
-
cristina.vuscan
-
Emanuel.Selaru
- Maior
- Mesaje: 728
- Membru din: 28 Mar 2008, 10:20
- Localitate: Buzau
-
cristina.vuscan
-
Andreea Neagu
- Colonel
- Mesaje: 1511
- Membru din: 16 Ian 2007, 23:15
- Localitate: Bucuresti
- Contact:
Pai, daca e mai bine cu vorbaria, eu inca astept un articol de la tine. Hai, ca poti. Nu-i musai sa fie pe tema politica pe care ti-o sugerasem eu (Hillary Clinton renunta la candidatura si isi sprijina fostul contracandidat), poti sa prezinti orice tema vrei. Ceva social, cultural, media, monden, stiintific, orice. Dar scrie odata ceva, ca asa, doar din vorbe nu te cred ca stii sa scrii 
Doar sa zic ca ma pricep la scris pot si eu.
Andy
Doar sa zic ca ma pricep la scris pot si eu. Andy
Andreea - Elena Neagu
Designer www.pontes.ro
Anjo.ro - Magazin virtual de produse pentru nevăzători
Şcoala pentru toţi - site dedicat elevilor nevăzători
Designer www.pontes.ro
Anjo.ro - Magazin virtual de produse pentru nevăzători
Şcoala pentru toţi - site dedicat elevilor nevăzători
-
Andreea Neagu
- Colonel
- Mesaje: 1511
- Membru din: 16 Ian 2007, 23:15
- Localitate: Bucuresti
- Contact:
Nu sunt sigura ca putem presupune din start ca fiecare a luat un numar intreg de nuci. Inseamna sa introduc o ipoteza suplimentara, neprecizata in problema, si care are aceeasi probabilitate ca si o alta ipoteza suplimentara posibila, cum ca numarul de nuci luat de cel putin un marinar nu este intreg. Si daca ma gandesc bine, tot asa as putea introduce si ipoteza suplimentara ca numarul de nuci nu a fost intreg de la bun inceput.
In conditiile astea, informatic vorbind, tipul variabilei "numar de nuci" ar trebui sa fie real si nu intreg, acoperind astfel toate cazurile posibile.
Numai bine,
Andy
In conditiile astea, informatic vorbind, tipul variabilei "numar de nuci" ar trebui sa fie real si nu intreg, acoperind astfel toate cazurile posibile.
Numai bine,
Andy
Andreea - Elena Neagu
Designer www.pontes.ro
Anjo.ro - Magazin virtual de produse pentru nevăzători
Şcoala pentru toţi - site dedicat elevilor nevăzători
Designer www.pontes.ro
Anjo.ro - Magazin virtual de produse pentru nevăzători
Şcoala pentru toţi - site dedicat elevilor nevăzători
-
cristina.vuscan