Cînd a venit unchiul în vizită le-a adus nepoţilor un coş cu mere.
— Staţi puţin, le-a spus el cînd copiii s-au repezit la fructe. Vi le dau, cu o condiţie: cel mai mare dintre nepoţii mei să ia un măr, plus o cincime din ce rămîne; al doilea să ia două mere plus o cincime din ce rămîne şi aşa mai departe.
Mai întîi, nepoţii s-au cam bosumflat, fiecare socotind în sinea lui că va fi nedreptăţit. Atunci cînd au purces să facă împărţirea merelor, au constatat însă că fiecare frate a primit un număr... egal de mere, Nemaifiind nici o supărare.
Puteţi spune cîte mere a adus Unchiul şi cîţi nepoţi are el, ştiind că după împărţire, în coş nu a mai rămas nici un măr?
Succes, Cristina
N-a fost nici o suparare...
Moderator: Manu
4 nepoţi şi 16 mere
În coş trebuie să fie un număr de mere astfel încât după ce primul nepot ia un măr să rămână un număr de mere divizibil la 5. Adică numerele divizibile la 5 plus 1. ( 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51, 56, etc.) Se ştie că sunt cel puţin 2 nepoţi, deci în coş sunt cel puţin 10 mere.Dacă în coş ar fi 11 mere, după ce ia 1 măr primul nepot rămân 10 mere. Primul mai ia o cincime din ce a mai rămas, adică mai ia două mere. Rămân în coş 8 mere. Al doilea ia 2 mere, ramân 6 mere, dar nu se pot împărţi exact la 5. Deci în coş nu sunt 11 mere. Dacă în coş sunt 16 mere, după ce primul nepot ia un măr, rămân 15 mere. Primul mai ia o cincime, adică 3 mere, în coş rămân 12 mere. Al doilea nepot ia două mere şi încă o cincime din ce rămâne, adică încă 2 mere, În coş rămân 8 mere. Al treilea nepot ia 3 mere şi încă o cincime din ce a rămas, adică mai ia 1 măr. În coş rămân 4 mere. Al patrulea nepot ia ultimele 4 mere.
Sunt 4 nepoţi şi 16 mere, fiecare din nepoţi ia 4 mere.
În coş trebuie să fie un număr de mere astfel încât după ce primul nepot ia un măr să rămână un număr de mere divizibil la 5. Adică numerele divizibile la 5 plus 1. ( 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51, 56, etc.) Se ştie că sunt cel puţin 2 nepoţi, deci în coş sunt cel puţin 10 mere.Dacă în coş ar fi 11 mere, după ce ia 1 măr primul nepot rămân 10 mere. Primul mai ia o cincime din ce a mai rămas, adică mai ia două mere. Rămân în coş 8 mere. Al doilea ia 2 mere, ramân 6 mere, dar nu se pot împărţi exact la 5. Deci în coş nu sunt 11 mere. Dacă în coş sunt 16 mere, după ce primul nepot ia un măr, rămân 15 mere. Primul mai ia o cincime, adică 3 mere, în coş rămân 12 mere. Al doilea nepot ia două mere şi încă o cincime din ce rămâne, adică încă 2 mere, În coş rămân 8 mere. Al treilea nepot ia 3 mere şi încă o cincime din ce a rămas, adică mai ia 1 măr. În coş rămân 4 mere. Al patrulea nepot ia ultimele 4 mere.
Sunt 4 nepoţi şi 16 mere, fiecare din nepoţi ia 4 mere.
-
cristina.vuscan
-
cristina.vuscan
În coş trebuie să fie un număr de mere astfel încât după ce primul nepot ia un măr să rămână un număr de mere divizibil la 5.
Se ştie că sunt cel puţin 2 nepoţi, deci în coş sunt cel puţin 10 mere.
În coş pot fi 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51, 56, etc., adică numere care au ultima cifră 1, sau 6.
CAZUL I:
Dacă ultima cifră este 1, în coş pot fi 11, 21, 31, 41, 51, 61, etc. După ce primul nepot ia 1 măr, în coş rămân 10, 20, 30, 40, 50, 60, etc. Primul nepot ia apoi o cincime din ce a rămas, adică 2, 4, 6, 8, 10, etc. (numere pare nenule).În total, primul nepot poate lua 3, 5, 7, 9, etc. mere ( numere impare , mai puţin 1 )
După ce a luat mere primul nepot, în coş rămân 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, 104, 112 etc. mere ( multiplii de 8 ).
După ce al doilea nepot ia 2 mere, rămân 6, 14, 22, 30, 38, 46, 54, 62, 70, 78, 86, 94, 102, 110, etc. Pentru a se împărţi exact la 5, trebuie ca ultima cifră să fie 0 sau 5, adică numerele din 40 în 40, începând cu 30. Al doilea nepot mai poate lua încă 6, 14, 22, 30, etc. ( numere din 8 în 8, începând cu 6 ). În total al doilea nepot poate lua 8, 16, 24, 32, etc. ( multiplu de 8). Se observă că dacă primul nepot ia numere impare de mere, al doilea nepot ia un număr par de mere, deci nu pot avea un număr egal de mere, aşa că nu este posibil cazul I.
CAZUL II:
Dacă ultima cifră este 6, în coş pot fi 16, 26, 36, 46, 56, etc.
După ce primul nepot ia 1 măr, în coş rămân 15, 25, 35, 45, 55, etc. mere ( numere din 10 în 10, începând cu 15 ). Primul nepot ia apoi o cincime din ce a rămas, adică 3, 5, 7, 9, 11, etc. mere ( numere impare, mai puţin 1). În total, primul nepot poate lua 4, 6, 8, 10, etc. mere ( numere pare începând cu 4).
După ce a luat mere primul nepot, în coş rămân 12, 20, 28, 36, 44, 52, etc. mere ( numere din 8 în 8, începând cu 12).
După ce al doilea nepot ia 2 mere, rămân 10, 18, 26, 34, 42, 50, etc. ( numere din 8 în 8, începând cu 10). Pentru a se împărţi exact la 5, trebuie ca ultima cifră să fie 0 sau 5, adică numerele din 40 în 40, începând cu 10. Deci pot fi posibile doar cazurile în care în coş sunt iniţial 16, 66, 116, 166, etc mere. Cazurile în care iniţial în coş sunt 26, 36, 48, 56, 76, 86, 96, 106, etc. pică. Al doilea nepot mai poate lua încă 2, 10, 18, 26, 34, etc. ( numere din 8 în 8, începând cu 2). În total al doilea nepot poate lua 4, 12, 20, 28, 36, etc. ( numere din 8 în 8, începând cu 4) .
Dacă primul nepot ia 4, 14, 24, 34, etc. mere, al doilea nepot ia respectiv 4, 12, 20, 28, etc. mere. Se observă că şirul de numere pentru primul nepot coincide cu şirul de numere pentru al doilea nepot doar pentru valoarea 4.( Când în coş sunt 16 mere, primul ia 4 mere, al doilea ia tot 4 mere, dar când în coş sunt 66 mere, primul nepot ia 14 mere, iar al doilea nepot ia 12 mere, deci un număr mai mic. La fel se întâmplă şi în celelalte cazuri. Deci numai cazul cu 16 mere iniţial este posibil. Dacă în coş sunt 16 mere, după ce primul nepot ia un măr, rămân 15 mere. Primul mai ia o cincime, adică 3 mere, în coş rămân 12 mere. Al doilea nepot ia două mere şi încă o cincime din ce rămâne, adică încă 2 mere, În coş rămân 8 mere. Al treilea nepot ia 3 mere şi încă o cincime din ce a rămas, adică mai ia 1 măr. În coş rămân 4 mere. Al patrulea nepot ia ultimele 4 mere.
Sunt 4 nepoţi şi 16 mere, fiecare din nepoţi ia 4 mere.
Se ştie că sunt cel puţin 2 nepoţi, deci în coş sunt cel puţin 10 mere.
În coş pot fi 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51, 56, etc., adică numere care au ultima cifră 1, sau 6.
CAZUL I:
Dacă ultima cifră este 1, în coş pot fi 11, 21, 31, 41, 51, 61, etc. După ce primul nepot ia 1 măr, în coş rămân 10, 20, 30, 40, 50, 60, etc. Primul nepot ia apoi o cincime din ce a rămas, adică 2, 4, 6, 8, 10, etc. (numere pare nenule).În total, primul nepot poate lua 3, 5, 7, 9, etc. mere ( numere impare , mai puţin 1 )
După ce a luat mere primul nepot, în coş rămân 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, 104, 112 etc. mere ( multiplii de 8 ).
După ce al doilea nepot ia 2 mere, rămân 6, 14, 22, 30, 38, 46, 54, 62, 70, 78, 86, 94, 102, 110, etc. Pentru a se împărţi exact la 5, trebuie ca ultima cifră să fie 0 sau 5, adică numerele din 40 în 40, începând cu 30. Al doilea nepot mai poate lua încă 6, 14, 22, 30, etc. ( numere din 8 în 8, începând cu 6 ). În total al doilea nepot poate lua 8, 16, 24, 32, etc. ( multiplu de 8). Se observă că dacă primul nepot ia numere impare de mere, al doilea nepot ia un număr par de mere, deci nu pot avea un număr egal de mere, aşa că nu este posibil cazul I.
CAZUL II:
Dacă ultima cifră este 6, în coş pot fi 16, 26, 36, 46, 56, etc.
După ce primul nepot ia 1 măr, în coş rămân 15, 25, 35, 45, 55, etc. mere ( numere din 10 în 10, începând cu 15 ). Primul nepot ia apoi o cincime din ce a rămas, adică 3, 5, 7, 9, 11, etc. mere ( numere impare, mai puţin 1). În total, primul nepot poate lua 4, 6, 8, 10, etc. mere ( numere pare începând cu 4).
După ce a luat mere primul nepot, în coş rămân 12, 20, 28, 36, 44, 52, etc. mere ( numere din 8 în 8, începând cu 12).
După ce al doilea nepot ia 2 mere, rămân 10, 18, 26, 34, 42, 50, etc. ( numere din 8 în 8, începând cu 10). Pentru a se împărţi exact la 5, trebuie ca ultima cifră să fie 0 sau 5, adică numerele din 40 în 40, începând cu 10. Deci pot fi posibile doar cazurile în care în coş sunt iniţial 16, 66, 116, 166, etc mere. Cazurile în care iniţial în coş sunt 26, 36, 48, 56, 76, 86, 96, 106, etc. pică. Al doilea nepot mai poate lua încă 2, 10, 18, 26, 34, etc. ( numere din 8 în 8, începând cu 2). În total al doilea nepot poate lua 4, 12, 20, 28, 36, etc. ( numere din 8 în 8, începând cu 4) .
Dacă primul nepot ia 4, 14, 24, 34, etc. mere, al doilea nepot ia respectiv 4, 12, 20, 28, etc. mere. Se observă că şirul de numere pentru primul nepot coincide cu şirul de numere pentru al doilea nepot doar pentru valoarea 4.( Când în coş sunt 16 mere, primul ia 4 mere, al doilea ia tot 4 mere, dar când în coş sunt 66 mere, primul nepot ia 14 mere, iar al doilea nepot ia 12 mere, deci un număr mai mic. La fel se întâmplă şi în celelalte cazuri. Deci numai cazul cu 16 mere iniţial este posibil. Dacă în coş sunt 16 mere, după ce primul nepot ia un măr, rămân 15 mere. Primul mai ia o cincime, adică 3 mere, în coş rămân 12 mere. Al doilea nepot ia două mere şi încă o cincime din ce rămâne, adică încă 2 mere, În coş rămân 8 mere. Al treilea nepot ia 3 mere şi încă o cincime din ce a rămas, adică mai ia 1 măr. În coş rămân 4 mere. Al patrulea nepot ia ultimele 4 mere.
Sunt 4 nepoţi şi 16 mere, fiecare din nepoţi ia 4 mere.
-
cristina.vuscan
Hm, hm, cam complicat... Si mai e si un fel de inductie in care e parcurs doar pasul de verificare... Cu alte cuvinte, se trag concluzii generale dupa cateva cazuri particulare... Iata, totusi, o rezolvare mai riguroasa:
Deoarece după împărţire, în coş nu au mai rămas mere, înseamnă că ultimul nepot a luat din coş un număr de mere egal cu numărul său de ordine. Acest număr trebuie să fie un multiplu de 4, întrucît penultimul nepot a luat din coş un număr de mere egal cu numărul său de ordine plus o cincime din merele rămase. Acest multiplu de 4 nu poate fi mai mare decît 4, pentru că, în caz contrar, nepoţii nu ar mai lua din coş un număr egal de mere (de exemplu, penultimul nepot ar lua mai mult decît ultimul nepot întrucît cincimea respectiva ar fi mai mare sau egală cu 2, diferenţa dintre numerele lor de ordine fiind numai de 1). Deci, ultimul nepot a luat din coş 4 mere şi prin urmare unchiul are 4 nepoţi şi a adus 16 mere, fiecare nepot primind cîte 4 mere.
Cris
Deoarece după împărţire, în coş nu au mai rămas mere, înseamnă că ultimul nepot a luat din coş un număr de mere egal cu numărul său de ordine. Acest număr trebuie să fie un multiplu de 4, întrucît penultimul nepot a luat din coş un număr de mere egal cu numărul său de ordine plus o cincime din merele rămase. Acest multiplu de 4 nu poate fi mai mare decît 4, pentru că, în caz contrar, nepoţii nu ar mai lua din coş un număr egal de mere (de exemplu, penultimul nepot ar lua mai mult decît ultimul nepot întrucît cincimea respectiva ar fi mai mare sau egală cu 2, diferenţa dintre numerele lor de ordine fiind numai de 1). Deci, ultimul nepot a luat din coş 4 mere şi prin urmare unchiul are 4 nepoţi şi a adus 16 mere, fiecare nepot primind cîte 4 mere.
Cris
-
cristina.vuscan
De acord, abia astept intalnirea... Am sa-ti explic atunci cum e cu metoda de demonstratie prin inductie... Pe scurt, metoda are 2 pasi, ambii la fel de importanti: 1. Pasul de verificare si 2. Pasul de inductie, in care se arata ca daca proprietatea are loc pentru un anumit numar k, atunci ea are loc si pentru succesorul sau, k+1. Tu ai facut doar pasii de verificare pentru cateva numere... Daca 3,4,5 sau 6 oameni de pe glob au aceeasti inaltime, nu putem trage de aici concluzia ca toti oamenii de pe Pamant au aceeasi caracteristica, de exemplu... S. a. m. d. Cris