Gasiti numarul

[Carmen]

Ha, ha, ha. Nu am timp acum. Am ceva urgent de lucru. Poate până revin, o găsesc rezolvată de Andreea.

[cristina.vuscan]

Pana atunci, voi incerca sa reformulez mai clar problema profesorului Calugareanu. In speranta ca nu voi produce o confuzie si o rumoare inca si mai mare iata reformularea:
Să se determine un număr format din cifrele 1,2,3,4,5 (folosite fiecare o singură dată) care satisface următoarele condiţii : (a) Comparat cu numărul 12.345, nici o cifră din numărul cerut nu se află pe aceeaşi poziţie (unităţi, zeci, sute, etc.) şi nici o cifră a acestui număr nu este consecutivă cifrei corespunzătoare din numărul cerut (în sensul obişnuit al ordonării numerelor naturale); (b) Comparat cu numărul 41.532 două cifre se află pe poziţiile lor şi două cifre ale acestui număr sînt consecutive cifrelor corespunzătoare din numărul cerut (în sensul obişnuit al ordonării numerelor naturale).
Succes, Cristina!

[Andreea Neagu]

Carmen, slabe sperante sa apuc eu s-o rezolv pana te intorci tu. Am o zi crunta, cu alergatura intre facultate si serviciu, si cu sedinte peste sedinte pana pe la ora 8. Asa ca nici o sansa sa ma pot gandi la problema azi. Chiar si mesajul asta e scris in fuga, stand in picioare intr-un metrou care ma duce, cam fara voia mea, la serviciu. V-am pupat, ca echilibrul deja e precar, ambele maini fiind pe tastatura telefonului. Si, mai stii, poate pic in bot si storcesc vreun copil, vreo babuta sau mai stiu eu ce alt suflet nevinovat
Numai bine,
Andy

[Carmen]

Răspunsul este 43521 cu 4 şi 5 fixe şi 3 şi 2 consecutive.

Din condiţia (a) rezultă că pentru numărul cerut, prima cifră nu poate fi 1, a doua cifră nu poate fi 1( ar insemna să o aibă pe 2 consecutivă) şi nici 2, a treia cifră nu poate fi 2 (ar însemna să o aibă pe 3 consecutivă) şi nici 3, a patra cifră nu poate fi 3(ar însemna să o aibă pe 4 consecutivă) şi nici 4, iar a cincea cifră nu poate fi 4(ar însemna să o aibă pe 5 consecutivă) şi nici 5 .
Deci prima cifră poate fi 2,3,4 sau 5, a doua 3, 4 sau 5, a treia 1, 4 sau 5, a patra 1, 2 sau 5, a cincea 1,2 sau 3.
Ţinem cont de condiţia (b):
Discutăm 5 cazuri in care cifrele 1,2,3,4,5 sunt fixe.
I) Dacă 4 ar fi fixă, am avea :
• 43_ _ _ cu subcazurile
43152, fixe 4 şi 2, dar care nu respectă condiţia de consecutivitate (b) şi
43512,dar ar fi trei numere fixe şi 43521 cu 4 şi 5 fixe şi 3 şi 2 consecutive.
• 45_ _ _, adică 45123, dar ar fidoar o cifră fixă.
II) Dacă 1 ar fi fixă, s-ar afla pe locul doi, dar nu ar fi valabilă atunci condiţia (a)
III) Dacă 5 ar fi fixă, am avea :
• _ 3 5 _ _cu subcazurile
43512, cu 4 şi 5 fixe, dar care nu îndeplineşte condiţia (b) de consecutivitate şi
43521 cu 4 şi 5 fixe şi 3 şi 2 consecutive.
• _ 4 5 _ _ cu subcazurile
24513, dar nu ar fi două fixe şi
34512, fixe 5 şi 2, dar nu ar fi îndeplinită condiţia (b) de consecutivitate şi 34521, dar nu ar fi două fixe.
IV) Dacă 3 ar fi fixă nu ar fi îndeplinită condiţia (a)
V) Dacă 2 ar fi fixă, am avea :
• _ _ _ 1 2 cu subcazurile
53412, dar nu ar fi două fixe, 35412 dar nu ar fi două fixe şi
43512, dar nu ar fi două consecutive(b), 34512 cu 5 şi 2 fixe dar nu ar fi două consecutive(b)
• _ _ _ 5 2 cu subcazurile
43152, fixe 4 şi 2, dar nu ar fi două consecutive (b) 34152, dar nu sunt două fixe şi
13452, dar nu sunt două fixe.

[cristina.vuscan]

Raspuns corect! O solutie mai simpla,ar fi aceasta:
Comparînd numărul cerut cu 41.532, se constată că 1 nu poate fi cifră care ocupă aceeaşi poziţie, întrucît atunci cifra 2 din 12.345 ar fi consecutivă pentru 1 şi aceasta ar contraveni condiţiei (a). Cum 1 nu poate fi nici cifră consecutivă pentru nici un număr natural nenul, rezultă că două din cifrele 2,3,4 sau 5 sînt consecutive şi două ocupă poziţii identice cu cele ale numărului cerut. Prin urmare, 1 ocupă poziţia a cincea. Din cifrele rămase – 3,4 şi 5 – una este consecutivă şi două ocupă poziţii identice. În concluzie, 2 ocupă poziţia a patra. Atunci cifrele 4 şi 5 ocupă poziţii identice şi numărul cerut este 43.521.
Voi prezenta in curand si solutia profesorului Calugareanu. Cris

[Carmen]

Felicitări pentru modul tău de rezolvare! Bănuiam eu că vei ieşi la interval cu o rezolvare elegantă. Sincer, nu mi-ar fi trecut prin cap modul ăsta de rezolvare.

[cristina.vuscan]

Iata si rezolvarea propusa de Calugareanu:
Din cele 120 de numere, permutări ale celor 5 cifre, numai 10 numere respectă condiţiile de a avea pe poziţia respectivă 2 cifre din 41.532 şi a nu avea nici o cifră pe aceeaşi poziţie ca în 12.345, anume : 41.253, 43.521, 45.231, 43.152, 31.524, 51.234, 31.452, 34.512, 24.531, 54.132. Dintre acestea, numai 4 mai satisfac condiţia de consecutivitate din (a), anume : 43.521, 43.152, 34.512 şi 24.531. Numai primul satisface şi condiţia de consecutivitate din (b), anume 43.521.

[Carmen]

Mai interesant este modul tău de rezolvare.

[cristina.vuscan]

Ma bucur... Sper sa nu fi deranjat prea mult formularea din enunt... Cris

[Carmen]

Faptul este consumat. Acum privesc altfel problema. Pentru mine a fost interpretabil enunţul. Mi-a dat bătăi de cap, asta pentru că nu l-am înţeles corect .

[Andreea Neagu]

Deranjat nu. Derutat da. Dar la ce minte am eu de te intrebam intr-o seara daca totusi consecutivitatea de pozitii functioneaza liniar sau circular, si incepusem sa aberez despre ce inseamna stanga si dreapta pe cerc, nici nu ma mir ca m-a derutat enuntul.
Andy

[cristina.vuscan]

Si cum ar trebui sa sune, in opinia voastra un enunt care sa nu deruteze? Si concis, in acelasi timp... As fi curioasa sa vad cum raspundeti... Sau credeti ca reformularea data de mine e suficient de clara? Specific aici ca nu e vorba de nici un atac la persoana, ci pura curiozitate "stiintifica", ca sa zic asa... Cris

[Andreea Neagu]

Cum trebuie sa sune ca sa nu deruteze: exact ca reformularea ta.
Cum suna cand deruteaza: ca enuntul domnului Calugareanu. La acesta m-am referit cand am spus ca m-a derutat.
Numai bine,
Andy