O balanta, niste bile si un numar minim de cantariri

[cristina.vuscan]

Uite, George, ceva care sa te faca sa mai uiti putin tristetea produsa de ghinionul cu problema anterioara. Daca asta n-are sa-ti dea de lucru, grija mea. Oricum, mai urmeaza dupa asta una inca si mai si...
dau o balanţă negradată şi fără nici un fel de etaloane de masă şi nişte bile absolut identice ca aspect şi dimensiune, dar confecţionate unele din fier iar altele din aluminiu. Dispuneţi de un asistent care să aşeze bilele pe talerele balanţei aşa cum îi veţi cere dumneavoastră, dumneavoastră înşivă neavînd voie să atingeţi bilele. Vi se cere să stabiliţi cîte bile sînt de fier şi cîte sînt de aluminiu folosind un număr minim de cîntăriri. Precizaţi acest număr în fiecare din următoarele situaţii:
A) vi s-au dat 3 bile;
B) vi s-au dat 6 bile.
Prezentaţi în fiecare caz şi procedeul utilizat.
Succes! Cristina

[Ghita Potra]

Iar am gasit mai tirziu problemele.
Am sa incerc o rezolvare pentru prima parte.
Cred ca sunt necesare doar doua cintariri.
Notam bilele cu 1, 2 si 3, punem in balanta 1 si 2 apoi 1 si 3. Daca la prima au fost egale inseamna ca sunt din acelasi material, daca nu vom sti din ce materiale sunt. La cea de a doua vom gasi din ce material este bila a treia. Sperind ca nu m-am pripit, cer un pic de ragaz pentru partea cu sase bile.
Daca altcineva o va rezolva nu am ce sa fac.

[cristina.vuscan]

Salut! Asa este, numarul minim de cantariri necesare in cazul a 3 bile este egal cu 2. Doar ca nu trebuiesc numerotate bilele, intrucat nu s-a cerut sa se spuna care bile sunt din fier si care sunt din aluminiu, ci numai cate sunt din fiecare fel. De altfel, la partea a doua nici nu va mai fi posibila determinarea exacta a bilelor din fier si acelor din aluminiu decat printr-un numar mare de cantariri. Deci, se cere doar determinarea numarului de bile din fier si a celor din aluminiu printr-un numar minim de cantariri. Cristina

[Ghita Potra]

Cred ca pentru a doua parte sunt necesare un minimiu de cinci cintariri deoarece exista posibilitatea de a fi o singura bila dintrun material.
Deasemenea cred ca prima parte a fost o mica capcana, fiind tentetia de a imparti bilele in doua si a aplica prima rezolvare.
Daca am judecat gresit a doua parte ramin cu satisfactia ca am reusit in proportie de cinzeci la suta.

[cristina.vuscan]

Nu, numarul minim nu este 5. Si da, se poate gandi si asa, ca prima parte este o capcana dar nu in ceea ce priveste numarul de cantariri, ci a metodei aplicate. In cel de al doilea caz, problema nu e deloc simpla, exista un numar destul de mare de cazuri care trebuiesc luate in considerare si doua trucuri care trebuiesc descoperite. Acestea odata trecute, problema e chiar interesanta si draguta. Iar prima parte a fost chiar o joaca de copii. Cris

[Ghita Potra]

Cred ca este Nevoie de trei cintariri.
Daca am judecat eu bine problema cred ca ar trebui facut in felul urmator.
a.Punem cite o bila in fiecare taler al balantei, daca sunt in echilibru mai adaugam cite o bila in fiecare taler, daca ramine tot in echilibru adaugam si cea de a treia bila in fiecare taler, daca se mentine echilibrul inseamna ca avem doua bile dintr-un material si patru din celalalt,daca se inclina avem trei si trei.
b. Punem cite o bila in fiecare taler, daca ramin in echilbru mai adaugam cite o bila, daca balanta se inclinarezulta ca avem doua bile din acelasi material si pe celalalt doua diferite, luam bilele egale si punem inn locul lor cele doua ramase, daca echilibrul se mentine inseamna ca avem doua si patru bile iar daca balanta se inclina avem una dintr-un materil sicinci din celalalt.
c. Punem cite una in fiecare taler, daca se inclina avem doua diferite, adaugam inca cite una in fiecare taler daca ajung in echilbru avem doua si doua, punem cele doua ramase intr-un taler, daca echilibrul se mentine inseamna ca avem trei si trei, daca se inclina avem patru si doua .
d. Punem cite una in fiecare talersi se inclina adaugam inca cite una in fiecare taler daca ramine inclinate avem trei si una, luam bilele egale si punem in locul lor cele doua ramase daca se echilibreaza avem patru si doua, daca se inclina avem cinci si una.
Nu stiu daca am pus toate conditiile dar sper ca modul de a aborda problema este corecta.

[cristina.vuscan]

Chiar nu inteleg. Spui asa la a) : daca la primul , la al doilea si la al treilea pas balanta ramane in echilibru, avem doua bile dintr-un material si patru din altul. Dar problema cere sa precizezi cate anume sunt din fier si cate sunt din aluminiu, nu cate sunt de un fel si cate de altul. Or, nu vad cum poti tu preciza acest lucru folosind acest procedeu, intrucat pot fi la fel de bine doua din aluminiu si patru din fier sau invers. Apoi spui ca daca la pasul al treilea balanta se dezechilibreaza, sunt trei de un fel si trei de alt fel. Incorect: poti spune doar ca o bila este sigur din fier iar cealalta din aluminiu, in timp ce celelalte patru sunt fie toate din aluminiu, fie toate din fier, fie doua din fier si doua din aluminiu. Deci, la revizuire... Cris

[Ghita Potra]

Cristina spuneai.
se spuna care bile sunt din fier si care sunt din aluminiu, ci numai cate sunt din fiecare fel. De altfel, la partea a doua nici nu va mai fi posibila
determinarea exacta a bilelor din fier si acelor din aluminiu decat printr-un numar mare de cantariri. Deci, se cere doar determinarea numarului de bile
din fier si a celor din aluminiu printr-un numar minim de cantariri. Cristina
Cred ca nu prea inteleg urmatorul pasaj.
la partea a doua nici nu va mai fi posibila
determinarea exacta a bilelor din fier si acelor din aluminiu decat printr-un numar mare de cantariri.
As dori sa inteleg mai binesi o sa astept rezolvarea.

[cristina.vuscan]

Sa inteleg ca te dai batut? Cris

[Ghita Potra]

eu renuntt.

[cristina.vuscan]

Iata si rezolvarea acestei probleme:
a) Se iau două bile şi se aşează una pe un taler şi cealaltă pe celălalt taler al balanţei. Dacă balanţa se dezechilibrează, se determină care dintre bile este din fier şi care din aluminiu. Apoi, se pune de o parte una din bile, să zicem cea din aluminiu, şi în locul ei se aşează pe taler cealaltă bilă rămasă. Dacă balanţa rămîne în echilibru, ultima bilă este din fier, în caz contrar este din aluminiu. Dacă la primul pas balanţa rămîne în echilibru, se ia una din bile şi se aşează în locul ei pe taler ultima bilă. Balanţa se va dezechilibra şi se va putea determina care din bile este din aluminiu şi care din fier. Bila dată de o parte după primul pas va fi diferită de ultima bilă cîntărită. Aşadar, numărul minim de cîntăriri necesare în cazul a trei bile este egal cu 2.
B) Se iau două bile şi se aşează una pe un taler şi cealaltă pe celălalt taler al balanţei. Dacă balanţa se dezechilibrează, una dintre bile este din fier şi cealaltă din aluminiu. Apoi, se pun aceste două bile pe un acelaşi taler iar pe celălalt taler se pun alte două bile din cele patru rămase. Dacă balanţa rămîne în echilibru, una din bilele celei de a doua perechi este din fier iar cealaltă din aluminiu. Dacă cea de a doua pereche este mai uşoară, ambele bile sînt din aluminiu, dacă este mai grea, ambele bile sînt din fier. Se procedează identic cu cea de a treia pereche de bile. S-au efectuat trei cîntăriri. Dacă la primul pas, balanţa rămîne în echilibru, se pune această pereche de bile pe un singur taler iar pe celălalt se pun încă două bile din cele patru rămase. Dacă balanţa se dezechilibrează, cel puţin una din bilele celei de a doua perechi este diferită de bilele primei perechi. Dacă bilele primei perechi sînt mai uşoare, atunci ele sînt d aluminiu, dacă sînt mai grele – de fier. Se cîntăresc apoi bilele celei de a doua perechi, una pe un taler, cealaltă pe celălalt şi dacă sînt diferite, una este din aluminiu iar cealaltă din fier. Cu această pereche se determină apoi, la fel ca mai sus, natura bilelor din ultima pereche rămasă. S-au făcut 4 cîntăriri. Dacă bilele celei de a doua perechi sînt identice, ele sînt ambele diferite de bilele primei perechi şi atunci, luînd cîte o bilă din fiecare pereche se poate determina cu ajutorul lor natura bilelor din ultima pereche de bile rămasă. În total, s-au făcut patru cîntăriri. Dacă la pasul al doilea, balanţa rămîne din nou în echilibru, toate cele patru bile sînt identice şi cel puţin una din bilele ultimei perechi este diferită de ele. Se verifică dacă bilele celei de a treia perechi sînt identice sau diferite, aşezînd cîte o bilă pe fiecare taler. Dacă sînt diferite, una este din fier şi cealaltă din aluminiu. Se poate acum determina cu ajutorul acestei perechi natura primelor patru bile, aşezînd două dintre ele pe un taler şi a treia pereche pe celălalt. În total, 4 cîntăriri. Dacă şi bilele celei de a treia perechi sînt identice, se determină care dintre bile sînt din fier – primele patru sau ultimele două – aşezînd cîte o bilă din fiecare grup pe cîte un taler al balanţei. Alte 4 cîntăriri. Prin urmare, numărul minim de cîntăriri necesare în cazul a 6 bile este egal cu 4.
Deci cele doua idei cheie ar fi:
1. Gasirea, daca e posibil, a unei perechi mixte de bile cu ajutorul careia sa se poata determina apoi natura celorlalte perechi;
2. In cazul in care nu se gaseste o astfel de pereche, compararea bilelor pe perechi.
Cris