Aritmetică pe stadion
O echipă de fotbal din Ploieşti a jucat la Arad, Timişoara şi Craiova, cîştigînd toate trei meciurile.
La Arad, ploieştenii au marcat jumătate plus unu din golurile băgate de ei în poarta timişorenilor.
La Timişoara, scorul a fost jumătate plus unu din cel înregistrat la Craiova.
La Craiova, cei din Ploieşti au marcat jumătate plus unu din golurile date în poarta arădenilor.
Puteţi spune cîte goluri a marcat echipa din Ploieşti în total şi în fiecare din cele trei oraşe?
Domnilor, va doresc succes! Cristina
Un concurs pentru domni...
Moderator: Manu
Chiar daca nu sunt domn, nu m-am putut abtine sa nu rezolv problema. Scuze, stimati domni. Si eu care nu sunt microbista....
Numarul total de goluri a fost 6. Fiecare meci a fost castigat cu cate 2 goluri marcate.
Notam cu x, y, z numarul golurilor marcate in Arad, Timisoara si respective in Craiova de catre ploiesteni, cu conditia ca numerele x, y si z sa fie intregi, nenule. Atunci x = y/2 + 1; y = z/2 + 1; z = x /2 + 1. Inseamna ca numerele x, y, si z, sunt numere divizibile la 2. Adunand membru cu membru relatiile de mai sus se obtine x + y +z = 1/2 (y + z + x ) + 3. De unde numarul total de goluri, adica x + y +z = 6. Deci fiecare din numerele x, y, z nu trebuie sa fie mai mare decat 6. Numerele intregi cuprinse intre 1 si 6, divizibile la 2 sunt 2, 4, 6. Dar golurile marcate in fiecare poarta nu pot fi nici 4 si nici 6 , caci atunci ar insemna ca la cel putin o poarta sa se fi marcat 0 goluri (6= 4+2 +0) .
Atunci inseamna ca la fiecare poarta s-au marcat cate 2 goluri (6= 2+2 +2). (Sau se inlocuieste x cu 2 in prima ecuatie si se afla z care este tot 2 si apoi din ecuatia a doua rezulta ca si z este 2.)
Se verifica 2=2/2+ 1 si 6=2+2+2
Ce spui Cristina, am dat gol?
Numarul total de goluri a fost 6. Fiecare meci a fost castigat cu cate 2 goluri marcate.
Notam cu x, y, z numarul golurilor marcate in Arad, Timisoara si respective in Craiova de catre ploiesteni, cu conditia ca numerele x, y si z sa fie intregi, nenule. Atunci x = y/2 + 1; y = z/2 + 1; z = x /2 + 1. Inseamna ca numerele x, y, si z, sunt numere divizibile la 2. Adunand membru cu membru relatiile de mai sus se obtine x + y +z = 1/2 (y + z + x ) + 3. De unde numarul total de goluri, adica x + y +z = 6. Deci fiecare din numerele x, y, z nu trebuie sa fie mai mare decat 6. Numerele intregi cuprinse intre 1 si 6, divizibile la 2 sunt 2, 4, 6. Dar golurile marcate in fiecare poarta nu pot fi nici 4 si nici 6 , caci atunci ar insemna ca la cel putin o poarta sa se fi marcat 0 goluri (6= 4+2 +0) .
Atunci inseamna ca la fiecare poarta s-au marcat cate 2 goluri (6= 2+2 +2). (Sau se inlocuieste x cu 2 in prima ecuatie si se afla z care este tot 2 si apoi din ecuatia a doua rezulta ca si z este 2.)
Se verifica 2=2/2+ 1 si 6=2+2+2
Ce spui Cristina, am dat gol?
-
cristina.vuscan
Salut! Mii de scuze ca nu am observat raspunsul la aceasta problema decat acum. Da, raspunsul si rezolvarea sunt corecte dar golul a fost marcat doar partial, daca ma pot exprima astfel. De ce? Pentru ca de cand a fost infiintata aceasta rubrica, impreuna cu ceilalti membri ai forumului, am stabilit o regula proprie de a rezolva problemele de logica propuse aici. Conform acestei reguli acceptate tacit, incercam sa rezolvam aceste probleme elementar, cu cat mai putine cunostinte de matematica, pentru a face accesibile aceste probleme tuturor. Cu alte cuvinte, incercam sa nu doboram vrabia cu tunul si sa nu punem in ecuatie sau in sisteme de ecuatii probleme care se pot rezolva simplu cu cunostinte de clasa a patra cum se spune, adica apeland doar la operatii aritmetice. Si aceasta problema se poate rezolva cu cunostinte elementare, fara x, y sau z. Va invit sa incercati sa o abordati si din acest unghi. Succes! Cristina
P.S. Si la drept vorbind abordarile elementare ale problemelor de logica sunt mult mai frumoase, chiar daca si mult mai dificile...
P.S. Si la drept vorbind abordarile elementare ale problemelor de logica sunt mult mai frumoase, chiar daca si mult mai dificile...
-
cristina.vuscan
Fiindca pana acum nu a dat nimeni raspunsul la "problema pentru domni", voi prezenta eu o rezolvare elementara a acesteia. Iat-o:Întrucît numărul de goluri marcate de ploieşteni în fiecare din cele trei meciuri este un număr natural, rezultă că jumătate din numărul acestor goluri este un număr natural, cel puţin egal cu 1. Mai mult, scorul înregistrat la Arad este cel mult egal cu cel de la Timişoara, cel de la Timişoara este cel mult egal cu cel de la Craiova, iar cel de la Craiova este cel mult egal cu cel de la Arad. Dacă în cel puţin unul din jocuri, jumătatea numărului de goluri marcate de ploieşteni ar fi mai mare decît 1, ar rezulta că numărul de goluri înregistrate la Arad ar fi mai mic decît el însuşi. În concluzie, jumătatea fiecăruia din scorurile înregistrate de ploieşteni este 1, adică ploieştenii au marcat cîte 2 goluri în fiecare din cele trei meciuri, iar în total au marcat 6 goluri.