Banda lui Mobius (partea I)

[cristina.vuscan]

PROFESORUL FĂRĂ NICI O PARTE
O povestire ştiinţifico-fantastică de Martin Gardner
Dolores — o superbă brunetă, steaua spectacolului de la barul de noapte ”Fesul roşu" din Chicago — apăru în centrul estradei şi, unduindu-se în ritmul unei melodii egiptene, făcu cîţiva paşi lenţi din ”dansul Cleopatrei". Sala era cufundată în întuneric, doar raza de opal a reflectorului făcea să scînteieze ţesătura costumului oriental purtat de Dolores.
Era tocmai momentul cînd trebuia să -şi ridice voalul ce-i acoperea capul şi umerii. Cu un gest uşor, îl desprinse, dar chiar în clipa aceea, tăcerea ce cuprinsese sala fu spartă de un zgomot puternic, ca un pocnet de pistol, care venea de undeva de sus. Din plafon se prăbuşi, cu capul în jos, trupul complet despuiat şi voluminos al unui bărbat. în cădere, el se agăţă de voalul ce zbura diafan şi, cu o bubuitură surdă, îl strivi de podea.
Se înstăpîmi un haos de nedescris.
Patronul, Jake Bowers, dădu ordin să se aprindă luminile şi încercă să-i reţină pe spectatori la locurile lor. În timpul acesta, şeful de sală, care stătuse lîngă orchestră Privind dansul, înşfăcă o faţă de masă de sub nasul unor consumatori, o aruncă peste corpul răsucit, apoi îl întoarse Cu faţa în sus.
Omul respira anevoie. îşi pierduse, pare-se, cunoştinţa din pricina şocului. Era trecut de cincizeci de ani, avea barbă şi mustăţi roşcovane tunse corect, craniul lipsit de orice podoabă capilară, şi arăta ca un luptător profesionist.
Trei chelneri abia-abia ridicară trupul greoi, ducîndu-l în biroul şefului de sală, în vreme ce, în bar, bărbaţii şi femeile, uimiţi şi agitaţi, priveau cînd la unul, cînd la altul, cînd spre plafon, discutînd aprins cum şi de unde ar fi putut să se prăvălească acel om. Se putea cel mult presupune că în timp ce sala era învăluită în beznă, a fost aruncat
pe estradă, dar de cine anume? — nimeni nu văzuse. Cineva anunţă poliţia.
între timp, în camera şefului de sală, bărbosul îşi recăpătase cunoştinţa. Declară că numele lui este Stanislav Slapenarski, că e profesor de matematică la Universitatea din Varşovia şi a fost invitat să ţină cîteva cursuri la Universitatea din Chicago.
înainte de a continua ciudata poveste, trebuie să spun că, personal, n-am fost martorul faptelor amintite, ci le relatez aşa cum mi le-au descris patronul şi chelnerii. Am luat însă nemijlocit parte la acel şir de întîmplări bogate în sensuri, ce s-au încheiat cu insolita apariţie a profesorului pe estrada barului.
Startul acestor întîmplări avusese loc cu cîteva ore mai înainte. Membrii societăţii ”Mobius" se întruniseră cu ocazia simpozionului anual într-unul din confortabilele separeuri de la etajul întîi al barului ”Fesul roşu". Societatea ”Mobius” este, de fapt, un mic şi foarte puţin cunoscut grup de matematicieni din Chicago, care se ocupă de topologie — unul dintre cele mai noi şi mai ciudate domenii ale matematicii moderne, care studiază legile transformării figurilor geoMetrice. Ca să puteţi înţelege mai bine cele întîmplate în seara aceea, trebuie să vă expun foarte succint specificul obiectului topologiei.
Este greu să defineşti esenţa acestei ramuri a matematicii fără a recurge la termenii de specialitate. Putem spune însă că topologia studiază, de pildă, proprietăţile figurilor care nu se modifică oricît de mult ar fi deformate.
Imaginaţi-vă un covrig de cauciuc, pe care îl poţi răsuci şi Întinde oricît de mult şi în orice direcţie. Oricît ar fi de deformată (sau de ”transformată" cum preferă să se exprime matematicienii) suprafaţa acestui covrig, unele particularităţi ale formei lui rămîn neschimbate. Astfel, întotdeauna îşi păstrează gaura. în topologie, un corp de forma unui covrig se numeşte ”tor". Şi paiul cu care se bea oranjada poate Fi considerat ca un tor alungit după axa centrală, astfel că, de pe poziţiile topologiei, covrigul şi paiul Sînt figuri identice.
Relaţiile cantitative nu interesează în topologie. Pentru ea sînt importante doar însuşirile fundamentale ale suprafeţelor ce rămîn neschimbate chiar la cele mai profunde deformaţii ale exteriorului corpurilor, oricare ar fi ele numai să nu intervină ruperi şi noi lipituri. Dacă un corp este tăiat în bucăţi, care apoi sînt lipite în alt mod, se obţine un cu totul alt corp ce îşi pierde astfel toate proprietăţile topologice iniţiale. Aşadar, topologia studiază proprietăţile matematice principale, fundamentale ale corpurilor reale.
Drept exemplu să analizăm una dintre problemele topologiei. închipuiţi-vă un tor (un covrig) reprezentînd un tub închis dintr-un cauciuc subţire. închipuiţi-vă, de asemenea, că pe suprafaţa torului se găseşte un mic orificiu. Oare poate fi întors pe dos acest tor, aşa cum, de pildă, se poate întoarce un balon? Nu e prea simplu să rezolvi pe dinafară această problemă.
Deşi numeroşi matematicieni din secolul al XVIII-lea 1 au abordat diferite aspecte ale topologiei, una dintre primele lucrări sistematice în acest domeniu aparţine lui August ferdinand Mobius, un geometru german care, în prima jumătate a secolului al XIX-lea a fost profesor la Universitatea din Leipzig. Pînă la Mobius, toţi presupuneau că orice suprafaţă, de exemplu, o foaie de hîrtie, trebuie să aibă două părţi, două feţe. El însă a făcut o descoperire uluitoare — a demonstrat că, dacă iei o fîşie de hîrtie, o desfăşori de-a lungul axei longitudinale şi, răsucind-O cu o jumătate de rotaţie, îi lipeşti capetele, obţii o suprafaţă cu ”o singură Parte”, o suprafaţă care are doar o faţă.
Dacă vreţi, puteţi să vă faceţi şi dumneavoastră o asemenea fîşie (topologii o numesc ”banda sau panglica lui Mobius") şi, studiind-o atent, vă veţi convinge că, într-adevăr, nu are decît o singură parte, doar o unică faţă curbă închisă (1).
La început nici nu-ţi vine să crezi că o asemenea foaie Poate exista, dar ea există într-o formă reală şi palpabilă, nu e deloc greu s-o confecţionezi şi posedă indiscutabila calitate De a fi uni-laterală, însuşire care nu dispare oricît ai întinde-o sau ai răsuci-o.
Să ne întoarcem la povestea noastră. Eu mă mîndresc cu faptul că, fiind conferenţiar la catedra de matematică a Universităţii din Chicago şi susţinîndu-mi dizertaţia pe o temă din domeniul topologiei, nu mi-a fost greu Să devin membru al societăţii Mobius. Aceasta nu avea prea mulţi membri — erau cu totul 26 de persoane — în majoritatea lor topologi din Chicago, plus cîţiva reprezentanţi ai universităţilor din oraşele apropiate.
Ne întruneam o dată pe lună şi adunările noastre aveau, de obicei, un caracter academic, dar odată pe an, la 17 noiembrie (ziua de naştere a lui Mobius) organizam un simpozion la care invitam în calitate de oaspete de onoare şi un conferenţiar, pe unul dintre cei mai prestigioşi topologi.
Simpozionul includea şi unele aspecte mai puţin sobre — de obicei era vorba de o distracţie mai deosebită. Dar în anul acela am avut cam puţine fonduri, aşa că am hotărît să marcăm sărbătoarea noastră la barul ”Fesul roşu", unde o masă nu costă prea scump, iar după conferinţă ne puteam amuza privind programul de variete. Am avut şansa de a putea invita, în calitate de oaspete de onoare şi conferenţiar pe cunoscutul profesor Slapenarski — o autoritate cunoscută pe plan mondial în domeniul topologiei şi unul dintre cei mai mari matematicieni ai acestui secol.
Doctorul Slapenarski se afla în oraş de cîteva săptămîni şi ciclul de lecţii pe care îl ţinea la Universitatea din Chicago avea ca temă aspectele topologice ale teoriei einsteiniene a spaţiului. întîlnindu-mă adesea cu el la Universitate, ne-am împrietenit, aşa că mi s-a încredinţat mie misiunea de a-l invita la masă.
Ne-am îndreptat spre ”Fesul roşu” cu taxiul şi pe drum l-am întrebat despre ce avea de gînd să vorbească. El a zîmbit enigmatic şi mi-a răspuns, cu un puternic accent polonez, că a mai rămas puţin de aşteptat. Tema conferinţei lui — ”suprafaţa fără nici o parte" — a trezit un asenenea interes printre membrii societăţii noastre, încît doctorul Robert Simpson de la Universitatea din Winsconsin, acceptînd invitaţia, ne-a răspuns în scris că aceasta va fi prima întrunire ştiinţifică la care participă în ultimul an 1.
Doctorul Simpson este un eminent topolog din Vestul Mijlociu, autor al unor importante lucrări de topologie şi fizică nucleară, în care a contestat cu hotărîre o serie de teze ale lui Slapenarski.
Profesorul polonez şi cu mine am sosit cu o mică întîrziere. După scurta prezentare protocolară, i-am atras atenţia lui Slapenarski că tradiţia noastră prevedea să introducem, între tacîmurile şi accesoriile de care ne foloseam la banchet, obiecte cu aluzii la topologie. Astfel, spre exemplu, drept suporturi inelare pentru şervete aveam panglici Mobius din argint. La cafea se serveau covrigei, iar ceştile, special confecţionate pentru noi, aveau forma unor recipiente Klein. (2)
După masă se servea o anumită marcă de bere în sticle pe a căror etichetă se găsea o ciudată emblemă comercială reprezentînd trei cercuri împletite într-un anumit fel (3), precum şi saleuri în formă de nod ”triplu" (4). Slapenarski fu încîntat de aceste detalii şi chiar a făcut cîteva propuneri referitoare la posibilitatea de a utiliza la masă şi alte figuri interesante pentru un topolog, dar ele sînt prea complicate ca să ne oprim aici asupra lor.
După un scurt cuvînt introductiv rostit de mine, Slapenarski se ridică, răspunse cu un zîmbet la aplauzele de salut ca să-şi dreagă glasul. în încăpere se aşternu de îndată liniştea. Cititorul cunoaşte deja înfăţişarea profesorului, aspectul lui masiv, barba-i roşcovană şi chelia-i lucitoare. Pe faţa lui se putea citi că acum ne va dezvălui ceva extrem de important.

1 Ulterior, dr. Simpson mi-a mărturisit că a venit la banchet nu ca să-l asculte pe Slapenarski, ci ca s-o vadă pe Dolores (N.A.).

(Sfarsitul primei parti)

NOTE
(1) O bandă (o panglică) Mobius, se poate confecţiona în felul următor: luaţi două coli de hîrtie de scris, pe care le tăiaţi în două de-a lungul şi le lipiţi cap la cap. în felul acesta obţineţi o bandă de circa 80—100 cm.
Răsuciţi cu o jumătate de rotaţie unul din cele două capete rămase libere şi lipiţi-l de celălalt. Acum, panglica de hîrtie a devenit bandă Mobius şi a căpătat o serie de însuşiri neobişnuite. De pildă, cu un creion trageţi o linie de-a lungul ei şi continuaţi această linie pînă ajungeţi la punctul de pornire. Veţi vedea că, deşi n-aţi întors banda pe cealaltă parte şi nici n-aţi ridicat creionul, linia se continuă pe ”ambele" feţe ale hîrtiei — dovadă că, de fapt, aceasta nu are decît o singură parte.
Dacă veţi tăia panglica Mobius de-a lungul unei linii ce trece prin mijlocul ei, veţi obţine nu două benzi, cum ar fi ”normal", ci una singură, de fapt o altă fîşie de două ori mai lungă. în schimb, tăind panglica Mobius la o treime de marginea hîrtiei şi continuînd tăietura şi spre marginea cealaltă (tot la distanţa de o treime de limita ei) veţi constata că obţineţi două panglici, una mai lungă şi alta mai scurtă, prinse între ele ca inelele unui lanţ.
Dacă vreţi să vă convingeţi că, într-adevăr, aceste însuşiri ale benzii Mobius sînt neobişnuite, că ele se datoresc faptului că această panglică are doar o faţă, confecţionaţi-vă şi un ”Martor", adică o fîşie de hîrtie pe care o lipiţi la capete fără să o răsuciţi. Veţi remarca faptul că, pentru a trage o linie cu creionul pe ambele feţe, este nevoie să întoarceţi banda şi să ridicaţi creionul; că tăind-o pe linia de mijloc obţineţi două benzi la fel de mari, iar dacă tăietura o faceţi la o treime — trei benzi de aceleaşi dimensiuni.
(2) Numit astfel în cinstea marelui matematician german Felix Klein, recipientul prezintă o suprafaţă complet închisă, fără să aibe totuşi nici parte inferioară, nici parte exterioară. Ca şi o panglică Mobius, vasul are doar o faţă, dar, spre deosebire de ea, nu are margini. Recipientul poate fi secţionat astfel încît fiecare jumătate să formeze o suprafaţă Mobius. în recipientul lui Klein se poate însă turna un lichid, ca în orice vas, fără ca să se întîmple ceva deosebit.
(3) Cele trei inele împletite, desenate pe eticheta sticlelor de bere despre care se aminteşte în povestire sînt foarte interesante din punct de vedere topologic. Deşi sînt prinse astfel încît nu se pot desface (decît, fireşte, dacă sînt tăiate), fiecare din cele trei perechi ce se pot forma constă din inele care nu sînt legate unul de altul. Cu alte cuvinte, dacă îndepărtaţi oricare dintre inele, celelalte două rămîn libere. Este însă imposibil să desfaceţi deodată cele trei inele (desigur, fără a le secţiona).
(4) ”Nodul triplu" este un nod foarte simplu, care poate fi obţinut dintr-o curbă închisă. Există două forme ale acestui nod, una fiind perechea celeilalte văzută în oglindă. Deşi ambele forme sînt identice din punct de vedere topologic, nu se poate trece de la una la alta fără a desface nodul. Această însuşire a nodurilor îi pune în mare dilemă pe topologi. în general, studiul nodurilor constituie un domeniu important al topologiei.
Totuşi, pînă acum, n-au fost încă investigate suficient nici măcar însuşirile celor mai simple dintre ele. Şi se cunosc nu mai puţin de 4001 tipuri de noduri, în majoritatea lor foarte complicate.

[Andreea Neagu]

Pot sa adaug si eu ceva, fara sa stric povestea? Vasul lui Klein sau recipientul Klein nu exista de fapt in spatiul tridimensional, este un obiect care poate fi doar "proiectat" (de fapt "imersat") in 3D, fiind de fapt o suprafata cuadridimensionala (in 4 dimensiuni). Se poate realiza practic ceva tridimensional care sa se apropie foarte, foarte mult de vasul lui Klein, cu o singura exceptie: va exista un punct de legatura unde va avea margini. In afara de aceasta zona insa, va prezenta proprietatile vasului lui Klein, adica nu va avea nici parte interioara, nici exterioara.
Andy

[Sorin]

Da, suna foarte interesant